1012 Sitzung (lei- physikalisch -iiiathf'iiiatisclien Clnsse vom 18. November. 



mitliin muss « = sein. Die Unterdeterminanten {n-l)"" Grades sind 

 die ersten Ableitungen von |X| nach den Variabelen x„r^. Da zwischen 

 ihnen keine lineare Relation mit constanten Coefficienten besteht, so kann 

 man |A'^| nicht als Function von weniger als ?z^ Variabelen darstellen, 

 die lineare Functionen der n"^ Variabelen x^ß, sind. Ist also \Y\ = k\X\, 

 so sind die n^ Variabelen ?/„g von einander unabhängig. Daher besteht 

 auch zwischen den Unterdeterminanten nt*"' Grades der Matrix F keine 

 lineare Relation mit constanten Coefficienten. 



Der Coefficient von x^^ in y„ß sei 4"^ oder, da zunächst x. ein 

 fest bleibender Index ist, kurz e„ß. Ist r eine neue Variabele, und 

 ersetzt man j„^ durch .r„^ + r, so geht y^^ in i/^g + rc^^ über. Daher ist 

 |j'«,3 + '''^«5| gleich der Determinante, die aus Ä-|x„ß| hervorgeht, indem 

 man x^^ durch x^^-\-'r ersetzt. Diese aber ist eine Function ersten 

 Grades von r, und folglich verschwindet auch in jener Determinante der 

 Coefficient von /•'. Derselbe ist gleich der Summe der Producte jeder 

 Determinante zweiten Grades der Matrix (?„g und der complementären 

 Determinante («—2)"" Grades der Matrix y„g. Zwischen den letzteren 

 aber besteht, wenn n>2 ist, keine lineare Relation mit constanten 

 Coefficienten. Folglich müssen die Determinanten zweiten Grades der 

 Matrix c„3 sämmtlich verschwinden. Für n = 2 ist dies ohne Weiteres 

 ersichtlich. Daher kann man 2n Grössen ^„ , f/„ so bestimmen , dass 

 ^«ß = V^% ist. 



Sei 4"i ^ PaA^i- Setzt man die Variabelen .r„^, deren Indices a 

 und /3 verschieden sind, gleich Null, so mögen X und Y in X^ und 

 F„ übergehen. Die Elemente der Matrix Y^ sind dann 

 2 d"} X ^% p X q ,. 



Ist also P die von den Grössen j>„3, und Q die von den Grössen g„j 

 gebildete Matrix, so ist 



also weil |.}'„| = /i'|A'o| = T^x x^x„_^„y ■ x ,„ ist, |-P||Q| = A-. Demnacli sind 

 |P| und |Q| von Null verschieden. 



Die Elemente ^„j der Matrix Z= P~'YQ^' werden also gleich denen 

 von Ao , falls man die Variabelen .{„^ , deren Indices verschieden sind, 

 gleich Null setzt, also gleich :r„„ oder 0, je nachdem /3 = oi ist oder 

 nicht. Oder die Grössen z^^- («S,8) und ~„„—x„^ = v„ hängen allein von 

 den Variabelen .r„j mit verschiedenen Indices ab. Entwickelt man die 

 identische Gleichung | A | = \Z\ nach Potenzen von .Cn , 0^,2 > ' ' ' •''«»' 

 so ergieht sich durch Vergleichung der Coefficienten des Productcs 

 .(•5, .r.,, ■• .r„„, dass e, = ist. Ebenso ist r„ = 0. Vergleicht man dann 

 die mit ■',;:, •i',, ••• .r„„ ninlti]>licirten Glieder, so findet man x^„x^^ =2i2~2i 

 und allgemein 



