Frübenus: Darstelhing der Gruppen rlnrcli line;ii'e Siilistitutionen. lOld 

 ( I .) a;„s xg„ = z^n Sß^. 



Vergleicht man endlich die Coefficienten von x\^ x.^^ ■ • ■ x,,,, , so er- 

 hält man 



und ebenso allgemein 



^,3^' *^7« '^ai T '^y^ '^ay '^^a ■ 



I ^ya ^ctß ~r '^7/5 -*-ay ^,2« • 



Nach (i.) ist auch das Product der beiden Summanden links gleich 

 dem der Summanden rechts. Daher ist entweder 



*^j37 -^ya '^ct 



'^Itiy'^ya '^afh i 



Xy3,X„yXg,„ 



^y/S-«»,. 



oder 



Da die Grössen z„n^ lineare Functionen der n^ unabhängigen Varia- 

 belen x^t, sind, so ist nach (i.) bis auf einen constanten Factor, von 

 dem wir zunächst absehen wollen, entweder ^„3 = a;„g, 2;;„ = x^^ oder 



Sei 2,2 = a,'i2, z^i =- x^i- Dann kann nicht x^^ x.^„ x„^ = 221 ^a^ ~i« 

 {ä>2) sein, weil die rechte Seite nicht durch x^„ theilbar ist. Daher ist 

 ^12 ^2» *«i = ■^12 ■22« ■s'«!» ^Iso 2„, = x„^, 22„ = ^2«! und mithin z^^ = Xi„, 

 2„2 = ^„2- Ferner muss dann .i'i^ x„^ x.^^ = 2i„ s„,; 2^1 und folglich ^„3 ^ a;„g 

 sein. Ist dagegen 2,2 =; ^r,;, so erkennt man in derselben Weise, dass 

 allgemein 2„g = Xg„ ist. 



Diese Gleichungen sind aber nur bis auf constante Factoren genau. 



k k 



Ist 2„i = -,- ;c„i , so ist nach ( i .) 2 

 k\ 



d'i„ und nach der Gleichung 



Sia -^«5 2/51 = ^"i« ^«3 ^31 allgf^mein 2„ 



Setzt man also 



k, ■•■ 

 />:2 • • • 

 /<-3 ■ • ■ 



SO ist Z= RXR-^ und F= PRXR-'Q = .4.15. El)enso ist in dem 



anderen Falle 2„3 = y x=„, r=PRX'R-'Q = AX'B. 



kß ^ 



II. -S'wirf f/i'e VoraussetzuTigen des Satzes I. erfüllt^ und sind auch die 

 charakteristischen Functionen der Matrizen X und Y einander gleich^ so 

 ist entweder F= AXA'"^ oder Y = AX'A~\ 



Sei e„3 = 1 oder 0, je nachdem ä = ,ß ist oder nicht. Dann sind 

 |A'— r^"! = |F-?-£'| die charakteristischen Functionen von A'und Y. Setzt 



