1014 Sitzung der physikalisch -inathematisclien Classe vom 18. November. 



man a"„; = e„,-, so möge y„- = «„,; werden. Ersetzt man dann in der Glei- 

 clmng |3'^| = |A'| jedes ;r„ä durch x„;i~re„r^, so erhält man 

 I Y-rC\ = \X-rE\ = \Y-rE\. 



Vergleicht man auf beiden Seiten die Coefficienten der ersten 

 Potenzen von r, so findet man 



Avo I',; die Unterdeterminante (n-l)"" Grades von Y ist, die dem Ele- 

 mente ?/„,j complementär ist. Da zwischen diesen Unterdeterminanten 

 keine lineare Relation besteht, so ist c„5 ^ e„a. Nun kann man nacli 

 Satz I die Matrizen A und B so bestimmen , dass Y = AXB oder 



Y ^ AX'B wird. Setzt man hier X= E, so wird, wie eben gezeigt, 

 auch I' = E, und mithin ist AB = E, also B = A~\ 



Die entwickelten Sätze bleiben gültig, wenn die Veränderlichkeit 

 der if Variabelen a'„.2 durch die Relationen Xß„ = x^^ beschränkt wird: 



III. Sind in einer syinmptrischen Matrix X die Elemente x„ß (/3>£t) 

 unabhängige Variahek_, und sind die Elemente der symmetr'ischen Matrix Y 

 lineare Functionen dieser Variabelen^ und unterscheidet sich die Determinante 

 \Y\ von \X\ nur um. einen Constanten von Null verschiedenen Factor j so 

 ist Y = AXA'j wo A eine bis auf das Vorzeichen völlig bestimmte constante 

 Matrix ist. Sind ausserdem die charakteristischen Functionen von X und 



Y einander gleich^ so ist A eine orthogonale Matrix. 



Ist zunächst AXÄ = BXB', so ergiebt sich, indem man X = E 

 setzt. AÄ = BB'. Setzt man A'^B = A'B'-' = F, so ist XF = FX 

 und FF' =: E. .Setzt man die Variabelen x^j^, dei-en Indices verschieden 

 sind, gleich Null, so wird .f„„/„3 =/„3%;3, also/„; = n, wenn et von 

 ;6 verschieden ist. Aus FF' = E folgt dann /„„ = ± 1 . Die allge- 

 meine Gleichung XF — FX ergiebt daher x^o, fs,- =^f„„x„~. Mithin ist 

 F = +E, und B = ±A, und folglich ist A bis auf das Vorzeichen 

 völlig bestimmt. 



Zwischen den ersten Ableitungen von |A| nach den Varial)el('n 

 ^„3 (;S>a) besteht keine Relation, weil sich umgekehrt die Elemente 

 x„r^ als Functionen dieser Ableitungen darstellen lassen. Zwischen den 

 Unterdeterminanten m"" Grades u, v , w , ■■■ bestehen zwar lineare Re- 

 lationen (Kkonecker, LTber die Suhdetermmante symmetrischer Systeme^ 

 Sitzungsberichte 1882). Ist au + bi- + cw+ ■■■ = eine solche, und ist 

 u eine Hauptunterdeterminante, so muss a = (1 sein. Denn setzt man 

 alle Variabelen a-^j = ausser denen, die in u vorkommen, so wird 



Y = w = • • ■ = 0. 



Ist nun r'S"j der Coefficient von x^„ in _(/„,j, so ergiebt sich hieraus 

 in dersell)en Weise wie oben, dass in der symmetrischen Matrix c^'l alle 

 Hauptunterdcterminanteii zweiton und dritten Grades verschwinden. 



