1140 .Sitzung iler pliysikalisch - inallicrii.-ilisclieii ('bisse vom 16. I)i'cpiii1)im'. 



Für den Fall, da,s.s ,^- nahezu ^= 1 (also k gros.s), kann man die 

 Gleichung (25) in folgender vereinfachten Form .schreiben: 



, 27r l ktu \ , „, 



ctg7rÄ: = ~^-^-lj (28) 



und kann diese Form auch für den allgemeinen Fall beibelialten , da 

 für diesen sich k auch hieraus wieder als nahezu gleich einer ganzen 

 Zahl ergibt. 



Die Lage der Wurzeln übersieht man am besten durcli Betrach- 

 tung der Schnittpunkte der beiden ebenen Curven: 



/ = ctg Trk 



27r 



(^"-.). 



wenn /• als Abscisse, / als Ordinate eines variablen Punktes angesehen 

 wird. Die erste Curve, die bekannte Cotangentencurve, ist periodisch 

 mit der Periode k^\, die Ordinate durchläuft, wenn k von einer 

 ganzen Zahl n bis zur nächstfolgenden «+ 1 ansteigt, alle Werthe von 

 + 00 bis herab zu —00. Die zweite Curve ist eine Gerade, welche die 



Abscissenaxe in dem Punkte k = — schneidet und aufwärts steigend 



mit ihr einen .spitzen Winkel bildet, dessen Tangente den nach !? 8 



kleinen Werth ^^- besitzt. Daraus folgt, dass je zwei auf einander 



folgende ganze Zahlen n und /i + 1 eine einzige Wurzel k zwischen 

 sich enthalten. Bezeichnen wir diese Wurzel mit /r„ und setzen: 



k„ = « + E„, (29) 



so folgt, dass £,. positiv und <1; ferner, dass e„ von 1 her gegen 

 hin abnimmt, wenn n von 1 bis co wächst: endlich, dass diese Ab- 

 nahme wesentlich nur in da.sjenige Gebiet der n fällt, tiir welches ^ 



nahe = 1 (also n gross) , während für alle kleineren Werthe von n £„ 

 nahe =1, und für alle grösseren Werthe von n £„ nahe =0 ist. 

 Wir wollen noch die Differenz: 



£„-£„+a = A, {30) 



also 



i-„+a— Ar,, ^ a— A 



setzen, wobei a, wie im vorigen Abschnitt §5, eine positive ganze 

 Zahl bedeuten soll, und bemerken, dass A stets positiv und klein 

 gesen a ist. 



