Moi.ien: Über die, Invai'ianten der linearen SuV)stitutionsgruj)jjen. 1155 



und der Coefficient der Potenz ui'' in der Entwickelung von giebt direct 

 an, wie oft die Gruppe mit dem Charakter/ («) durcli rationale Functionen 

 p^" Grades der Variabein der gegebenen Gruppe darstellbar ist. 



Insbesondere befindet sich unter den mit der gegebenen Gru])pe 

 isomorphen Gruppen stets die Identität, deren Charakter 



/, 

 ist. Die Existenz einer solchen Grupj)e unter ilen irreductibeln Bestand- 

 theih'n aber ist gleich))edeutend mit der Existenz einer Invariante. 

 Demnach ist 



-~y — 



der Ausdruck, welcher die Invariantenzahl für jeden Grad liefert. 



Es ist nur nocli zu zeigen , dass der Analysator ( 1 1 ) nicht iden- 

 tisch verschwindet; es ist aber, wenn 6'„ die identische Substitution 

 der Gruppe (2) ist, 



6'„(a)) = (]-«)'», 



und keine weitere charakteristische Gleichung enthält 1 — et) in gleicher 

 Potenz; ferner ist ^- gleich dem Grade der Gruppe mit dem Charak- 

 ter /(m). Die Summe (11) enthält also einen Summanden, der beim 

 Addiren durch etwaiges Zusammenziehen nicht eliminirt werden kann, 

 und folglich ist der Werth des Analysators nicht identisch Null. 



4. 



Als besonders einfaches Beispiel wähle ich die Ikosaedergruj)pe 

 in drei Variabein. Die charakteristischen Gleichungen sind: 

 für die identische Substitution (1 — ü;)' = 0, 

 für 15 Substitutionen vom Grade 2 (1 — w)(l + w)^ ^ 0, 

 für 20 Substitutionen vom Grade 3 (1 — ü)') = 0, 

 für je 1 2 und 1 2 Substitutionen vom Grade 5 



(1 -03) (1 + ^ '^Z'" iO + o^A = 0. 

 Der Analysator für die Invariantenzahl ist 



= '^+^ . 



(l-co2)(i-oo«)(l-cü'°) 



der Analysator für die Darstellung der gegebenen Gruppe: 

 = "^izJ^ , 



(l-co=)(l-ca*)(l-w5) 



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