Zur 



Theorie der Elimination nnd Kettenbmeli- 



Entwic'kluno*. 



H"' BORCHARDT. 



[Gelesen in Jer Akademie der Wissenschaften am 31. Januar 1878.] 



1. J? ür die Resultante E^^ der Elimination zwischen einer Glei- 

 chung /(.f) = vom vi'"' und einer zweiten Gleichung fj(x):^0 vom 

 n'"" Grade hat Herr Rosenhain folgende Formel aufgestellt: 



it (.r, . . . x„ ; a;„^.j . . . .!■„+„,) 



WO die Summe über alle Ausdrücke zu erstrecken ist, welche durch Per- 

 mutation der Gröfsen x^ . . . .r„_^„, aus dem hingeschriebenen hervorgehen, 

 und -ß (•',••• -^'n ; ic„+, •■• •■'^„+,„) das Product aller Dift'erenzen a:., — x. be- 

 deutet, in denen i' einen der Werthe n-^ l ... n-\-m, und i einen der 

 Werthe l ... u hat. 



Um die Lösung des Problems zu vervollständigen, bedarf es bekannt- 

 lich überdies der Aufstellung einer Reihe von ganzen Functionen E^(x) , 

 E^(x^ ... E^(x) ... vom Grade ihres Iudex in .c, welche zugleich ganze 

 Functionen der Coefficienten der Functionen /(,c) und (j(x) sind und die 

 Eigenschaft haben, dass das identische Verschwinden von E^(x) die noth- 

 wendigen und ausreichenden Bedingungen für die Existenz eines gemein- 

 samen Factors ^-hl'"" Grades der Functionen /(.r) , </(*■) angiebt. 



Die Function E^(x) wird auf die einfachste Weise mit Hülfe von 

 symmetrischen Functionen von n-j-vi — 2 k Variablen definirt, w'elche 

 der Formel (i) analog zusammengesetzt sind. Setzt man nämlich 

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