2 BoRCHARDX: Zur Theorie der Elimination 



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SO ist E^ eine symmetrische ganze Function der Variablen -^i ■ ■ ■ ■v„+„,_ok, 

 welche in Beziehung auf jede derselben auf den Grad/; steigt. Man suche 

 in der Function £"^(.1^ .. . ;i'„+,„_2J den Coefficienten der höchsten d. h. 

 k""" Potenz von A"„+„,_2fc auf, bezeichne denselben mit E^{u\ ... x^_^^^^_^f._^) 

 und nenne diesen Ausdruck die auf n-{-m — 2/l — 1 Variable reducirte 

 Function E,.. Mit dieser Keduction fahre man fort, bis man zu einer 

 Function einer einzigen Variable £'j(.^',) gelangt, dann ist Ei.(x) die in 

 der Theorie der Elimination verlangte Function t"" Grades. 



Diese Definition der Function E^(x) führt mit der gröfsten Leich- 

 tigkeit zu den verschiedenen Formen, unter welchen die Function £'^(.i') 

 sowie die symmetrische Function Ei.(a\ ... A'„+,„_2t.) dargestellt werden kön- 

 nen. Es bedarf hierbei nur der Anwendung der Interpolationsformel für 

 eine Art von symmetrischen Functionen, welche ich in den Abhandlungen 

 der Akademie vom Jahre 1860 gegeben habe. 



Es seien F^Qc) , F^(x) ... F^_^(x) Functionen, welche den p — i"" 

 Grad nicht übersteigen. Man bilde die alternirende Function 



-±^;(.x')i^,(,tg...i<;_,Cv.) 



und dividire dieselbe durch das Differenzenproduct 



aller Differenzen x., — x. («,«'= 1 , 2 ... 7; — k , i' > i), so ist der Quo- 

 tient eine symmetrische Function 



X±:F,(x,)F„Xx,)...F„_^(j;„_,) 



(3) i^Cr.....v,) = 



A(,r, ,.v.,...Xi,) 



der 2) — k Variablen x^...x^^_f^, welche in Beziehung auf jede Variable 

 auf den Grad k steiat. Wenn man diese Function F in der bereits oben 

 angewandten Weise auf eine geringere Anzahl von Variablen und schliefs- 

 lich auf eine einzige Variable reducirt, so ist die hieraus hervorgehende 

 Function F diejenige lineare Verbindung der Functionen F^^ , i^^ . . . i*'^_j., 

 welche die Potenzen x*"^' , .r*"^^ ... a*"', nicht enthält, und zwar ist F(x) 

 durch die folgende Determinante 



