10 BoRCHAliDT: Zar Theorie der Elimination 



eine vollständige Function und unterscheidet sich nur durch einen con- 

 stanten Factor von L\_j(.r). 



Die umfassendste Annahme, die man über die Aufeinanderfolge der 

 Functionen E machen kann, besteht in Folgendem. Als erste dieser 

 Functionen kann man die Function f{x) selbst ansehen, und zwar als eine 

 unvollständige Function £'„_,(a'), deren Grad auf m gesunken ist. Hierauf 

 folgt unter Auslassung der identisch verschwindenden Functionen E^_^(x), 

 E^_^{x) ... E^^^^^(x) die vollständige Function £'„X.)), die nur um einen con- 

 stanten Factor von £',,_^(.r) oder /(,!•) verschieden ist, dann eine unvoll- 

 ständige Function J?,„_j(.r), deren Grad von j» — 1 auf m^ gesunken ist, 

 hierauf unter Auslassung identisch verschwindender Functionen die voll- 

 ständige von £',„_,(.i") nur um einen constanten Factor verschiedene Func- 

 tion £,,, (.r), dann die unvollständige Function A',^ _j (.?•), deren Grad von 

 ^11 — 1 auf ?»2 gesunken ist, hierauf nach Auslassung identisch verschwin- 

 dender Functionen E die vollständige von A'„, _,(;?') nur um einen con- 

 stanten Factor verschiedene Function £,„ (.)) u. s. w., bis man schliefslich 

 auf eine Function E kommt, welche gemeinschaftlicher Factor von /(.i) und 

 g(x) ist und sich, abgesehen von einem constanten Factor, unter den 

 beiden Formen 7i' _, (.f) und E,,^ (x) darstellt, von welchen die letztere, 

 wenn vi^ = ist, in die Constante E^^ übergeht. 



Bekanntlich sind die bei der Kettenbruch-Entwicklung des Bruches 



^^ entstehenden Restfunctionen um- um constante Factoren von den Eli- 



minationsfunctionen E verschieden. Diese Factoren sind bisher nur für 

 den sogenannten regulären Fall bestimmt worden, in welchem die Func- 

 tionen E sämmtlich von dem Grade ihres Index sind. 



Um auch für den irregulären Fall die Bestimmung dieser Factoren 

 auszuführen, nehme ich in Übereinstimmung mit den obigen Hypothesen 

 über die Aufeinanderfolge der Functionen E an, die zur Kettenbruch- 



Entwickhing des Bruches f-;-^ nöthige successive Division habe zu den 

 o / W ^ 



Restfunctionen <pj(x) , (^^(x) ... f^Qv) ... (p^(.v) geführt, welche durch die 

 Gleichungen 



