Theorie des arithmetisch -geonietrischen Mittels 

 aus vier Ek^menteii. 



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H'" BORCHARDT. 



[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 27. Juni 1878.] 



Einleitung. 



Am Jahre 1876 habe ich der Akademie i) als Haupt-Resultat 

 meiner Untersuchungen über das arithmetisch - geometrische Mittel aus 

 vier Elementen die Bestimmung desselben durch ein Doppel -Integral mit- 

 getheilt, bin indessen den Mathematikern die Theorie schuldig geblieben, 

 welche mich zu diesem Resultat geführt hat. 



Die seit Lagrange und Gauss bekannte Bestimmunc; des arith- 

 metisch - geometrischen Mittels aus zwei Elementen durch ein einfaches 

 Integral pflegt aus der Transformation zweiter Ordnung der elliptischen 

 ■&- Functionen abgeleitet zu werden. Ebenso kann das von mir aufge- 

 stellte analoge Resultat mit Leichtigkeit vermittelst der Transformation 

 zweiter Ordnung der hyperelliptischen -^-Functionen von zwei Varia- 

 bein bewiesen werden. Indessen werde ich mich dieses Hülfsmittels in 

 der hier folgenden Abhandlung nicht bedienen, sondern wie ich vor Jah- 

 ren, unabhängig von der Theorie jener Transcendenten, durch algebraische 

 Betrachtungen auf den Begriff des arithmetisch -geometrischen Mittels aus 

 vier Elementen geführt worden bin, so auch den Ausdruck desselben als 

 analytische Function jener Elemente auf algebraischem Wege ableiten. 



1) Monatsbericht 1876 p. 611 (und 1877 Februar). 



Math. Kl. 1878. 



