34 Borchardt: Theorie des arithmetisch- geometrischen Mittels 



Um für diese Abhandlang die Notiz im Monatsbericht 1876 nicht 

 vorauszusetzen, beginne ich damit, den Algorithmus 



aufzustellen. Die wiederholte Anwendung desselben auf vier reelle posi- 

 tive Elemente a, b, c, e führt auf eine unbegrenzte Reihe von Systemen 

 transformirter reeller positiver Grössen «„, i„, c„, e„, welche sich mit 

 wachsendem n ein und derselben Grenze </ nähern, deren Bestimmung 

 den Gegenstand der Untersuchung bildet. 



Durch Auflösung der obigen Gleichungen nach Va, Vb, \'c, Ve 

 gelangt man zu einem neuen Algorithmus, den ich den umgekehrten Algo- 

 rithmus nenne, der aber nicht, wie der ursprüngliche, eindeutig sondern 

 zweideutig ist. Die wiederholte Anwendung des umgekehrten Algorithmus 

 auf vier reelle positive Elemente führt zwar ebenfalls auf eine unbegrenzte 

 Anzahl von Systemen transformirter Grössen, und man hat bei jedem 

 Schritt die Wahl, wie man über die Zweideutigkeit des Algorithmus ent- 

 scheide, aber welche Entscheidung man auch treffen möge, so bleiben 

 die transformirten Grössen bei unbegrenzter Wiederholung nicht immer im 

 Bereich der reellen positiven Grössen, es sei denn, dass die gegebenen Ele- 

 mente einer Ungleichheitsbedingung genügen, welche darin besteht, dass 

 das Product des grössten und kleinsten Elementes grösser sei als das Pro- 

 duct der beiden mittleren, in welchem Fall ich die Elemente ein eigent- 

 liches, im entgegengesetzten Fall ein uneigentliches System von Elemen- 

 ten nenne. 



Indem ich für die Elemente a, b, c, e diese Ungleichheitsbedin- 

 gung, in symmetrischer Form ausgesprochen, an die Spitze der Unter- 

 suchung stelle, gewinne ich den Vortheil, den umgekehrten Algorithmus 

 eindeutig machen zu können, denn es zeigt sich, dass derselbe, auf ein 

 eigentliches System a^, 6^, c^, c^ angewandt ein und nur ein eigent- 

 liches System a, b, c, e liefert, während das zweite ein uneigentliches 



