36 Borchardt: Theoyne des arithmetisch- geometrischen Mittels 



Dann lässt sieh mit Hülfe der Function * die Transformation der Grössen 

 ]/«, Vb, Vc, Ve, tv, X, y, z in die Grössen Va^, ]/b^, Vcj, Ve, , lo^, x^, 

 V , z in folgendes analytische Factum zusammenfassen: 



Man bilde aus den Variabeln iv, x, y, z und den Constanten ]/«, 1/6, 

 ■j/c, Ve die Göpelsche Function *, ferner aus den nämlichen Variabein 

 und den oben definirten Constanten Va*, Vi*, Vc*, Ve* die Göpelsche 

 Function 4>*, endlich aus den Variabein iOj, .r^, 2/,, -, «nd den Constanten 

 Vöj, Vij, Vc,, Ve, die Göpelsche Function *,, dann ist die letztere 

 Function von dem Product der beiden ersteren nur um einen constanten 

 Factor verschieden, man hat nämlich 



256 a\ «i'j ^ * . ** . 



Die Bedeutung dieser Gleichung, welche das Fundament der ferneren 

 Untersuchung bildet, besteht darin, dass dieselbe mit Hülfe der Trans- 

 formations- Gleichungen , welche «,, 6^ , c,, e, , ««,, Xj, ?/,, z^ als Func- 

 tionen von rt, 6, c, e, if, .r, ^, 2^ definiren, zu einer reinen Identität wird. 



Da die Gleichung * = 0, geometrisch aufgefasst, bekanntlich eine 

 Kummer sehe biquadratische Fläche mit sechzehn Knotenpunkten dar- 

 stellt, so folgt aus obiger Identität, dass, wenn der Punkt jü, .r, y, z auf 

 der Kamm ersehen Fläche * = o (mit den Constanten V«, V^, Vc, V«) 

 liegt, der Punkt iv,, x^, y^^ z^ gleichzeitig auf einer Kumni ersehen 



Fläche *j ^ (mit den Constanten V«,, V*!»!, Vc,, Vt'i) hegt. 



Aber dies Entsprechen beider Punkte lässt sich noch genauer fest- 

 stellen. Die Kummersche Fläche besteht nämlich aus acht nur durch 

 die Knotenpunkte mit einander , in Verbindung stehenden Theilen, von 

 welchen fünf im Endlichen liegen, während drei aus je zwei Schalen 

 (nappes) bestehende sich ins Unendliche erstrecken. Unter den erste- 

 ren ist nur einer, welcher in keinem Knotenpunkte mit den ins Unend- 

 liche sich erstreckenden Theilen in Verbindung steht. Diesen einen von 

 den vier anderen endlichen Theilen umgebenen nenne ich den centralen 

 Theil der Kummerschen Fläche. Liegt der Punkt w^ x, y, z auf dem 

 centralen Theil der Kummerschen Fläche * = 0, so liegt gleichzeitig 

 der Punkt iv^, .r,, y,, 2, auf dem centralen Theil der Kummerschen 



