ans vier Elementen. 39 



Hiermit ist das Problem im Wesentlichen gelöst, denn eine Func- 

 tion, welche diese Eigenschaft besitzt, ist bekanntlich eine blosse Function 

 der Grenze g. 



Es erübrigt nun, die richtig gewählten Parameter <f>, -4^ einzu- 

 führen, den Algorithmus, von welchem ausgegangen wurde, in unbe- 

 grenzter Wiederholung auf das Doppel -Integral anzuwenden und zur 

 Grenze überzugehen, so findet sich das obige Doppel -Integegral von 

 dem reciproken Werthe des arithmetisch - geometrischen Mittels (/ nur 

 um einen numerischen Factor verschieden. 



1. 

 Aufsfeihtng des Algorithmus, Begriff des arithmetisch- geometrischen 



Mittels. 



Es seien a, />, c, e vier reelle positive Quantitäten, und man bilde 

 aus denselben die symmetrische Function 



nc := (((0 — ce) (ac — be) (cie — bc) . 



Je nachdem ro positiv oder negativ ist, mögen «, 6, c, e ein eigentliches 

 oder uneigentliches System von vier Elementen heissen, und ich werde, 

 wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil festgesetzt wird, stillschweigend 

 annehmen, dass die vier Elemente, mit welchen ich mich beschäftige, 

 ein eigentliches System bilden, d. h. dass ro positiv sei. 

 Durch den Algorithmus 



(1) 



in welchem alle Quadratwurzeln mit positivem Zeichen zu nehmen sind, 

 und welcher sich, wenn jeder der Grössen £, e' der doppelte Werth 

 £ = ± 1, t' = ± 1 beigelegt wird, in die eine Gleichung 



(l*) 4(«.-+-£6.-+-£'c,4-££'e^) = (V«-t-£l/6 + £'l/cH-EH'l/e)' 



