40 Borchardt: Theorie des arithmetisch- geometrischen Mittels 



zusammenfassen lässt, leite man aus a, h, c, e die neuen ebenfalls posi- 

 tiven Grössen «j, h^, c^, e, her, welche die ersten transformirten der 

 Elemente a, h, c, e heissen mögen. 



Diese Grössen sind ganze jjomogene quadratische Functionen von 



Va, Vb, Vc, Ve, so dass sie unverändert bleiben, wenn man Va, Vb, 

 Vc, Ve gleichzeitig durch — Ya, — V6, — Vc, — Ve ersetzt, überdies 

 ist a, eine symmetrische also einwerthige Function, während b^, Cj, e^ 

 die drei verschiedenen Werthe einer dreiwerthigen Function sind. Alle 

 vier haben die gemeinsame Fundamental -Eigenschaft, unverändert zu 

 bleiben, wenn eine der drei Permutationen 



/m _ P'« ^b Vc Ve\ .r.. ^ [Va Vb Vc Ve\ ,ßs ^ (Va Vb Vc Ve\ 



^^ \VbVaVeVc) ' ^ ^ y.VcVeVaVb) ' ^ ^ KVeVcVbVaJ 



auf sie angewandt wird. 



Man führe die Hülfsgrössen 



(2) 



ein, so dass 



(2*) 

 ist, und nehme an, dass 



(2**) « >- i >■ O e , 



dann ist aus den Gleichungen (1) ersichtlich, dass auch 



«, > ^ > c, :> e^ . 



Wenn die Ungleichheiten (2**) stattfinden, was von jetzt an stillschwel- 

 gend angenommen wird, so sind ab — ce, ac — be von selbst positiv, 

 daher reducirt sich die Bedingung 3? >- auf ae — 6 c >> 0, oder nach 



(2*) auf 



a c — b c > . 



