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Diese Bedingung kann aber, da a, b, c von selbst positiv sind, nur er- 

 füllt werden, wenn auch c positiv ist. Man hat daher das Ergebniss: 

 sind «, i, c, e vier positive Grössen, welche ein eigentliches System von 

 vier Elementen bilden, so sind die vier Hülfsgrössen a, b, c, c ebenfalls 

 positiv und bilden ein eigentliches System, ein Satz, welcher sich um- 

 kehren lüsst, da die Gleichungen (2) bestehen bleiben, wenn man rt, 6, 

 c, e mit \(i, ^-b, ^c, \t vertauscht. 



Man bezeichne mit a,, b, , c, , c, vier Hülfsgrössen, welche aus den 

 transformirten «j, i^, Cp e^ ebenso gebildet sind, wie a, b, c, c aus den 

 Elementen a, h, c, e, dann ergeben die vier Gleichungen, welche in (l*) 

 enthalten sind: 



a, e, — b, L\ = 4 (rtj e, — b^ c,) = \{a — b — c-\- e) (]^«e — }fbc) , 



woraus 



hervorgeht, d. h. aus einem eigentlichen System von Elementen 

 a, b, c, e ergiebt der Algorithmus (1) wiederum ein eigent- 

 liches System von transformirten Grössen, «,, 6j, c^, e^. 



Der Algorithmus (1), wiederholt angewandt, führe auf die fer- 

 neren transformirten Systeme (/.,, b.,, c.>, e,, a„, b^, c„, e„, von denen 



jedes aus dem vorhergehenden durch den Algorithmus (1) abgeleitet ist. 

 Aus den beiden in (I*) enthaltenen Gleichungen 



K<\ + ^1 — c, — e,) ^ O'a + Vb — Vc — Vef 



4 (rt. — ^ + f , — e.) = O^a — Vb 4- Vc — Vef 

 folgt: 



rt, — e, = L j rj/a — Ve)' -+- (Yb — Vcf \ , 



und da nach (2**) 



(Va — ye)' H- (}/b — ]'cf < 2 Q/« — Ve)' < 2 (« — e) 



ist, so hat man: 



«, — c, < ^ (rt — e) , 



woraus durch wiederholte Anwendung 



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