42 BoRCHARDx: Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels 



folgt, (1. h. mit wachsendem n nähern sich die n'"' transformir- 

 ten Grössen a„ , ö„ , c„, e^ ein und derselben Grenze (/, welche 

 ein zwischen dem grössten und kleinsten der Elemente o, i, c, e 

 liegender Mittelwerth ist, und welche ich das arithmetisch- 

 geometrische Mittel aus den vier Elementen rt, 6, c, e nenne. 



Aus dem Zusammenfallen der Grössen «„, 6„, c,,, e„ in den einen 

 von der Null verschiedenen Grenzwerth y folgt überdies, dass der Quo- 

 tient aus je zweien dieser Grössen sich der Grenze 1 nähert. 



2. 



Einführung von sechs zu den Elementen coordinirten Grössen. 



Zu den vier quadratischen Functionen a^, i, , Cj, e^ von ]/a,'\/b, 

 Vc, Ve mögen durch die folgenden Gleichungen, deren rechte Seiten sich 

 in ihrer Zusammensetzung von den rechten Seiten von (1) nur durch die 

 Zeichen unterscheiden, sechs neue ebenfalls positive Grössen: 



(3) 



hinzugefügt werden. 



Vergleicht man die zehn Ausdrücke (1, 3) mit den Eulerschen 

 rationalen Werthen für die Coefficienten einer orthogonalen Substitution, 

 so zeigt es sich, dass die neun Brüche 



b. e. — c. 



c, - V' e\ 



die Coefficienten einer orthogonalen Substitution mit der Determinante 

 + 1 bilden. 



Die sechs durch (3) als Functionen von ^|a, Vi, l/c, '^ e definirten 

 Grössen b\^ Cj , ej , b'[ , c[ , e[ lassen sich auch als Functionen der ihnen 



