48 Borchardt: Theorie des cmthmetisch -geometrischen Mittels 



schiedene Lösungen für Va, 1/6, Vc, \e. Aus diesen sechzehn Lösungen 

 wähle ich zunächst diejenige aus und nenne sie die eigentliche Lösung, 

 in welcher jede der vier Quadratwurzeln l/fl^, Vb^, l/cp ^Cj positiv genommen 

 ist. Da der Voraussetzung nach «,, ip c^ e^ also auch ttj, t, , c,, Cj ein 

 eigentliches System bilden, so bilden in Folge der Identität 



l/ä7c7 — Vt^ ^VTe — Wc 



V«, 1/6, j/c, Ve ebenfalls ein eigentliches System, und da die drei erste- 

 ren dieser vier Grössen nach (6) positiv sind, so muss auch ]/e positiv 

 sein. Man hat daher folgendes Resultat: 



Es seien o^ > h^ > c^ > e^ vier gegebene positive Grössen, welche 

 ein eigentliches System bilden. Man bestimme aus denselben durch die 

 Gleichungen (6), in welchen alle Quadratwurzeln positiv genommen wer- 

 den, Va, l/6, l^c, l^e, so sind diese vier Grössen ebenfalls positiv, bilden 

 ein eigentliches System und genügen der Bedingung V a > V6 > Vc > ]/<?. 



Nimmt man in (6) zwei der drei Quadratwurzeln Vb^, l^c,, l^Cj 

 negativ, die dritte und l/a^ positiv, so erhält man drei Lösungen, welche 

 aus der eigentlichen Lösung durch die Permutationen (B), (C), (E) her- 

 vorgehen. Nimmt man dagegen \a^ und eine der drei Quadratwui'zeln 

 l^bj, Vc, , l^Cj negativ, die beiden anderen positiv oder endlich alle vier 

 Quadratwurzeln negativ, so erhält man vier fernere Lösungen, welche sich 

 von den vier bereits betrachteten nur durch gleichzeitige Umkehrung der 

 Zeichen von V«, Vh, l^c, V«? unterscheiden. 



Diese acht Lösungen, in welchen eine gerade Anzahl von Quadrat- 

 wurzeln auf den rechten Seiten von (6) positiv, die übrigen negativ ge- 

 nouimen werden, sind also nicht wesentlich von einander verschieden 

 und sämmthch auf die eigentliche Lösung zurückzuführen. 



Es bleiben nun acht fernere Lösungen übrig, welche aus (G) her- 

 vorgehen, wenn man von den Quadratwurzeln Va, , l^bj , l'c, , l'Cj eine 

 ungerade Anzahl mit j^ositivem, die übrigen mit negativem Vorzeichen 

 nimmt. Diese acht Lösungen lassen sich auf ähnliche Weise, wie dies 

 mit den ersten acht Lösungen geschehen ist, auf eine derselben zurück- 

 führen, nämlich auf die Lösung: 



