50 Borchardt: Theorie des arithmetisch •'geometrischen Mittels 



woraus hervorgeht, dass 



ro* = (a*ö* — c*f*) (cee — i*e*)(a*e* — Ire") 

 = ~Ub^c^e^b[c[e\ 



negativ ist. Die Grössen «'', 6", c", e* bilden also ein inieigentliches 

 System, und man hat folgendes Ergebniss: 



Wenn man den Algorithmus (1) umkehrt und diesen um- 

 gekehrten Algorithmus auf die positiven Grössen a^, b^, c^, e^ 

 anwendet, welche ein eigentliches System bilden, so erhält 

 man ein einziges eigentliches System von positiven Elementen 

 a, b, c, e. Ausserdem erhält man ein zweites durch (G") defi- 

 nirtes System «*, 6*, c*, e*; dies ist aber ein uneigentliches. 



Da das System rt", P, c*, e'" aus a, b, c, e dadurch hervorgeht, 

 dass von den Grössen l/ap Vtj, Vcj, Vcj eine ungrade Anzahl das Zeichen 

 wechseln, so besteht zwischen 



\ = VaSw^ , ?* = Va:b:crc: 



die Relation 



K = ~\ ; 



man hat daher unter Berücksichtigung von (B 1-4) die Gleichungen: 

 (7^) 5(*__5(^, <j3;__i^^, e^:^_6,, (y^__(v^, x; = _A^ 



4. 



Vanahehmjstemc , welche mit den Elementen und den transformirten 

 Grössen in Verhindung stehen. Coordinirte Variabein erster Art. 



Man ordne den Quadratwurzeln V«, Vb, Vc, Ve der Elemente ein 

 System von Variabein iv, x, y, z (die ursprünglichen Variabein) und den 

 Quadratwurzeln ]/«,, Vi^, j/cj, ^le^ der transformirten Grössen ein zweites 

 System von Variabein w^^ ^x-'Vi-' -^1 C*^^^^ transformirten Variabein) zu und 



