52 Borchakdt: Theorie des arithmetisch- geometrischen Mittels 

 (9) 



41^-;^; = tr= H- 2/-' — .r= — z- 



iV^j^, = iü- + 2- — X- — ?/- 



4l/öj'a;;' = 'iwx — 2?/z 

 4ycj'i/j' = 2wij — 1XZ 

 4Vej'5i' = 2 WZ — ixy 



coordinirt, so dass den Werthen jü^V'«, .r = l/6, ?/=l/c, z=]/e nach 



(3) die Werthe x\=yb\, y\^\c\, :\=}/e\, < = V^;', J/;'=l/<, 

 z" ^= ye'l entsprechen, dann bilden wiederum die Brüche 



]/\x, ]'7\z\ -yv^y': j 



-V<< Vc^y^ yh\x\ j : ya,w^ 



ein System von neun Goefficienten einer orthogonalen Substitution mit 

 der Determinante + 1. 



Man denke sich die sechs Variabehi x\, y[, z[, x", ?/", z'^ als 

 Functionen der ihnen coordinirten Variabein tt\, x^, y^, z^ ausgedrückt und 

 bezeichne mit x' , y' , z' , x" , y" , z" die nämlichen Functionen der ursprüng- 

 lichen Variabein io,x,y, z, so dass io = Va, x = V'6, y = Vc, z = Ve, 

 x' = ]/b\ y' =yc\ z' =ye', x' = ]/b\ rj" =']/c\ z' ^Me' zusammen- 

 gehörige Werthe der zehn Variabein sind, dann bilden die Variabein lo, x, 

 y, z mit den ihnen coordinirten x\ y' , z' , x" , y" , z" ein System von 

 zehn Variabein , deren Verhältnisse die Eigenschaft haben, dass die neun 

 Brüche 



< Vbx , yl z , -Ml'y" ' 



(I.) —^|7'z" , Vc)/ , VT'a-' : V««« 



( Tdxj . -n'x" , Tez , 



die Goefficienten einer orthogonalen Substitution mit der Determinante 

 -\- 1 sind. 



Aus dieser Bedingung folgen Kelatioiien, welche theils zwischen 

 den Quadraten, theils zwischen den Producten der zehn Variabein statt- 

 finden. Zwischen den Quadraten derselben hat man fünf lineare Rela- 

 tionen, nämlich: 



