54 Borchardt: Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels 



5. 



Coordinirte Variabein ziceiter Art. Göpelschc hi quadratische 



Relation. 



Nachdem im letzten Artikel zu den ursprünglichen Variabein w, .r, 

 y, z sechs Functionen derselben x' , y' , z' , x" , y" , z" als coordinirte 

 Variable hinzugefügt worden sind, welche ich im Folgenden coordinirte 

 Variable der ersten Art nennen werde, untersuche ich jetzt, welche 

 neuen Variabein aus x' , y' , z , x\ y\ z" hervorgehen, wenn man auf 

 io,x,y,z eine der drei Permutationen: 



(X) :=. (^' ' ^ --) , (Y) = f'^- ' ^ ') , (Z) = ('" •'• ^ -") 



\,r w z yj \y z w xj \z y x wj 



anwendet, welche die Eigenschaft haben, dass erstens jede derselben dop- 

 pelt angewandt die ursprüngliche Variabeinfolge wiederherstellt, und dass 

 zweitens zwei derselben hinter einander angewandt die dritte ergeben. 



Im Allgemeinen würden diese drei Permutationen den 6 coordi- 

 nirten Variabein erster Art 18 neue hinzufügen, also die Anzahl aller 

 auf 24 bringen. Aber es giebt einen besonderen Fall, in welchem sich 

 diese 24 Variabein durch Coincidenzen auf 12 reduciren. Dieser specielle 

 Fall, welcher eine Bedingungsgleichung zwischen ?c, a;, ?/, z erfordert, 

 liegt der folgenden Untersuchung zu Grunde. 



Man wende zunächst die Permutation (X) auf die Variabein x , x' 

 an. Nach der Relation 



(F. i) V6'6".r'.r" = l/ff6?t'.r — ^fceyz 



bleibt bei Anwendung der Permutation (X) das Product x x" unverändert, 



d. h.: o-eht .r' in Ix' über, so ";eht gleichzeitig ,r" in ^x über. Es be- 



darf daher nur einer Bedinsunssgleichuns; / == 1 , damit unter Anwen- 

 düng der Permutation (X) die Variabein .r', .r" in einander übergehen. 

 Diese Bedingungsgleichung in die Variabein lo^ .r, ?/, z auszudrücken hat 

 keine Schwierigkeit. In der That nach den Gleichungen (D. i), (F. i) des 



