58 Borchardt: Theorie des arithmetisch- geometrischen Mittels 

 gleichzeitig unter den drei Gestalten: 



hM == Q)--^-b''^)(aw^-\-hx' — cy'' — es-) — ^h'h''(hw'-^ax''—eif — cz^) 

 = (c''-\-c"')(atü' + Cif — bx' — ez-) — 2c'c"(cw'-{-aif — ex' — bz^) 

 = (e'' + e"')(^aw- + ez' — hx' — crf)—2e'e"(eio'~\-az' — cx' — bif) 



und das Prodnct tv^Mj unter den drei folgenden: 



/7 I ro in ifoNO / ' '2 " "2N2 /' ^' ^'2 ^," *"2\2 



m^h =- (J) X- — X y = {c y — c y ')- = [e z —e. ) 



dargestellt werden kann, so geht hieraus hervor, dass 4> ^ zugleich das 

 Resultat der Elimination von y\ y" zwischen (D. 2), (D. 2, Y) und (F. 2) 

 und das Resultat der Elimination von z , z" zwischen (D. 3), (D. 3, Z) 

 und (F. 3) ist. Man hat also das Ergebniss: 



Es seien von jetzt an lü, x, y, z nicht mehr von einander 

 unabhängige Variable, sie seien vielmehr durch die homogene 

 biquadratische Göpelsche Relation * = mit einander ver- 

 bunden, wo * durch Gleichung (12) definirt ist, dann gehen 

 bei gleichzeitiger Vertauschung 



von lü mit x und y mit z die Variabein x, x" 

 V w „ y „ z „ X „ „ y', y" 



„w„z„x^y„ „ z' , z" 



in einander über. 



Von den 18 Variabein, die aus x , y' , z' , x" , y" , z" durch die 

 drei Perrautationen (X), (Y), (Z) hervorgehen, coincidiren also 6 mit 

 den ursprünglichen. Die noch übrigen 12 coincidiren ebenfalls paar- 

 weise. In der That, definirt man die Variabeln 



Y', Y" als die Werthe, in welche resp. y' , y" durch die Substitution (X) 



^ 1 ^ y> n n n v n ■^ i " ri n n \^J 



^ t ^ r> 7> r> V n n ^ i ^ r, » rt \^) 



übergehen, so sind gleichzeitig 



