aus vier Elementen. 



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Z'\ Z' die Werthe, in welche z , z" durch die Substitution (X) 



y'\ y n ,^ ». « y'^ y" ^ „ „ (Z) 



übergehen. Denn durch (Z) gehen z\ z" in z" , z\ durch (Y) gehen 

 z\ z" in Z\ Z" , folglich gehen durch beide Permutationen (Z), (Y) 

 hinter einander angewandt, d. h. durch (X) die Variabein z , z" in Z\ Z' 

 über, w. z. b. w. ; und ähnlich wird die zweite Entstehungsweise der 

 Variabein X", X', Y'\ Y' aus der vorau!?gesetzten ersten bewiesen. 



Es kommen also durch Anwendung der Permutationen (X), (Y), (Z) 

 auf die coordinirten Variabein x\ y , z\ x" , y" , z" erster Art sechs und 

 nur sechs coordinirtc Variable X\ Y\ Z\ X", Y'\ Z" zweiter Art hinzu. 

 Beide Arten mit den ursprünglichen Variabein w, .r, ?/, z zusammen bil- 

 den also ein System von IG Variabein, welche in folgendem Quadrat 



X' 

 Y" 



angeordnet werden mögen. 



Die gegenseitige Abhängigkeit dieser 16 Variabein wird dadurch 

 definirt, dass das System der neun Brüche 



(I-) 



f Vlx , V~e-z , -V7'y" 

 -Wz" , Vcy , Vh'x 

 Vc'y' , -V¥'x- , VJz 



: \'a tv 



und die drei Systeme von neun Brüchen (IL), (III.), (IV.), welche aus (I.) 

 durch die Permutationen (X), (Y), (Z) hervorgehen, die Coefficienten 

 einer orthogonalen Substitution mit der Determinante + l sind. Diese 

 vier Forderungen sind zwar nicht unabhängig von einander, die vierte 

 ist vielmehr von selbst erlullt, wenn es die drei ersten sind; es genügt 

 indessen für das Folgende zu wissen, dass jede aus einer der vier For- 



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