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62 Borchardt: Theorie des arithmetiseh- geometrischen Mittels 



Eine derselben ist eine Folge aus den drei übrigen, welche von einander 

 unabhängig sind. Man kann daher aus dreien der sechs Quadrate, z. B. 

 aus ?<;-, 1""", 1/'" die übrigen .r-, Z"' , z"- linear zusammensetzen. Man 

 eliminire z"- zwischen der ersten und dritten, x^ zwischen der ersten 

 und dritten, x^ zwischen der zweiten und vierten Gleichung, so ergiebt 

 sich unter Benutzung der Relationen (A. 6, 17-20) 



(14) 



i h"x- = b'iv' —e"Y"' — e'y" 

 b"Z"' = c'w- —eY"' —ay" 



Es seien a^, a^ zwei willkürliche reelle Constanten, welche nur 

 der einen Bedingung unterworfen sein sollen, dass 



(14*) lc=a^-a^ 



positiv sei, dies vorausgesetzt stelle ich die Gleichung zweiten Grades 



in t auf: 



bee"Y"- ace'y'- h'c'c"w- 



t — ct. 



V „> „'l..fi 



Da der Voraussetzung nach sämmtliche 16 Variabein reell sind, so sind 

 die Zähler bee"T"'-, ace'y'- positiv und das letzte Glied negativ, 



«3 • «4 



daher hat die Gleichung in / nach den bekannten Eigenschaften der 

 Gleichungen dieser Form zwei reelle Wurzeln, von denen die grössere p 

 zwischen -f- 00 und «3, die kleinere q zwischen «3 und «^ liegt, und 

 man hat, wenn man 



Ht) = (f—p)(t-q) 

 setzt, die Identität: 



b'c'e"w-{{0 b'c'c"tv\t—}))(t — q) bee"Y""- ace'y" b'c'c"iv"- 



(«3— ««)(* — «3) ('—«0 («3— «4) (<—««) (< — «*) « — «3 / — «, «3 — «4 



Man bestimme drei neue Constanten a^, a^, a., aus den drei ersten der 

 folgenden neun Gleichunsien: 



