68 Borchardt: Theorie des arithmetisch- geometrischen Mittels 

 d. h. man hat zur Bestimmung von Y, Z die zweite Gleichung: 

 (25) i- -Q^ = - {pi - qO {Y' - Z^-) . 



Man addire zu dieser Gleichung die mit 2/=2l/— 1 multiplicirte Glei- 

 chung (24), so erhrdt man : 



{P-^iQy = {Y{q^^ip:)-Z{p, + iq,)Y , 

 also 



dz (P + iO) = Y(q, H- ip,) - Z(p^ + ^■</„) . 



Da der Voraussetzung nach Y, Z reell sind, so kann diese Gleichung nur 

 dadurch bestehen, dass der von i unabhängige Theil besonders befriedigt 

 wird und der in / multiplicirte ebenialls besonders, d. h. man hat 



±P= qJ-PoZ , ±Q = pJ-q„Z 

 V .PoQ — qoP 7 .qoQ — PoP 



I = ± r, .j— , /y = zSz ^ .r- , 



35 — Po 9o — Po 



WO das ± Zeichen überall dieselbe Bedeutung hat. 



Hiermit sind zwar die Werthe der 7 Quotienten gefunden, aber 

 die Vorzeichen der Wurzeln bleiben nocli zu bestimmen. 



In den Gleichungen (19) kann man von jedem Wurzelgrössenpaar 

 V , die eine willkürlich nehmen und die zu machende Zeichenbestim- 



l iH' 1 in 



mung auf die andere werfen. Die 10 Wurzelgrössen p,,^, </„, zerfallen in 

 zwei Categorien: p^, p^, q^, q^ können verschwinden, die übrigen sechs 

 aber nicht. Die letzteren behalten daher immer das nämliche Zeichen. 

 Die e'rsteren, welche verschwinden können, sind beider Zeichen fähig, 

 aber welches Zeichen sie auch haben mögen , man wird immer zwei 

 reelle Winkel (/>, -v^ so bestimmen können, dass 



f Pi = V'S —p = l/v— «^ • sin "P . g =l/«3— ^ = ^«3 — a^.sinv^ 

 (•26) I 1 _t '_ 



y i^3 = yp — «. = v'«! — «2 -cos«/) , q,= v^(/— «, = y«3— «4 • cos^^ 



und dass ip, -d/ innerhalb der Grenzen — tt und H- tt liegen. Verfügt man 

 gleichzeitig über das Zeichen der anderen Factoren p^, p^, 5,, q.,-, welche 

 nie ihr Zeichen ändern, so, dass sie alle positiv genommen werden, so 



