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Borchardt: Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels 



den Gleichungen (1, 3) zu den Ausdrücken (3"") der //, , cj, e\^ ij', cj', ^" 

 in a, , /'j, Cj, (?, und auf diese Weise zu den Ausdrücken (4) führte, auf 

 demselben Wege gelangt man durch Auflösung der Gleichungen (8) und 



Einsetzung der aufgelösten Werthe in (9) zu den Ausdrücken der x\ z'^ 



durch ?t'j, .Tj, ?/j, Cj oder zu den ebenso gebildeten Ausdrücken der .r' z" 



durch V), X, y, z. Mit Hülfe der in iv, .r, y, z linearen Verbindungen 

 W, y, Vi, 3, welche in (13) detinirt sind, erhält man nämUch 



2 Vb'x' = Vuvi? + 1/^,2 Yb"x" = Vm — Vn 



und die beiden andei-en Gleichungspaare, welche hieraus hervorgehen, 

 wenn man gleichzeitig ;i-, Yb'x', ]/b"x" resp. mit i), ^c'y' , Vc"y" oder mit 



3, Ve'z', y7z" vertauscht. 



Man- definire ausser den vier in ?r, x, y, z linearen Verbindungen 

 iv, }:, n, 5, welche in (13) gegeben sind, noch 12 andere dadurch, dass 



\v, y, 11, 3 durch die Permutation (X) in w' , r' , \)' , 5' 



iv,^, n,S . . « (Y) . iv",r", D", 3" 



», ^S », ä . . . (Z) .. i^^'"' f, »'"' S'" 



übergehen sollen. Dann erhält man, nach der in den Artikeln 4, 5 gege- 

 benen Definition der coordinirten Variabein, für jede derselben eine dop- 

 pelte Art des Ausdrucks durch die 16 Grössen \v 3'", nämlich: 



(29) 



'>'8' 



21^6" 



aVc" 



^ 



21^6" ' 21^«" 2Ve' 



Vt^T? _ 1/ ^Y' _ Vi^y— i^f'7" ^ Vi^Y' + T^^'7' 



1'to"'9"' — Mf'i" ^r„ _ »'»' i)' — V^-'ä' 



21^0 



2Vc" 



, r" = 



21^0" 



2Vc 





Mvi 



',. -^ j/P9' 



8' 



2Ve 



