74 Borchardt: Theorie des arithmetisch- geometrischen Mittels 



Die Zeichen aller 1(5 Grössen iv j'" hangen daher von den Zeichen 



der vier Grössen w, w', lu", w'", die ich mit ß, ß', ß", ß'" bezeichne, 



und den drei Zeichen h\ h", h'" ab. Aber die vier Zeichen ß /3"' 



sind nicht von einander unabhängig. Man bilde die beiden Producte der 

 ersten und zweiten sowie der dritten und vierten der vier Grössen: 



IV = Ya IV H- VI X -{-Vcy -hVez 

 w' = ]/ux-hViio-\-Vcz-{-]/ey 

 \v" ^ Vay -+- VI z -+-Vciv-i-Ve x 

 iv'" = Vaz-\-V~by-^ Vcx -^V"ew , 



so ergiebt sich, wenn man zur Abkürzung 



V ^{V'^c+VTe){io z^xy)^{V^e+Vhc){wy^x z) = iVcJ^Q/'^^z^-^V7^y,) 



setzt : 



lu \ü' = (rt H- h) w X + (c -}- e) )/ .- + Väb (w- + .r) -+- Vce (y' + z') + V 

 lv"uV" = (rt + h)yz + (c + <?) wx-h V^(y' + :') + Vc^(.io'-\- x') + V, 



hieraus 



W w' + w" w'" = 8 V^j (Vä^ x^ + VV^ lü J + 2 F 



= 8 { VoJ, (Va.x^ -i-Vb\ ?«,) + V^^. (Vc, z^+Ve,y,)} 

 \v \v' — w" \v"' = (a-\-b—c — e) (w x—yz)-\- (Vo b — Vc e) (iv" -\- .r- — if— z-) 



= mj^(yK^:+VK^;) 



und daher 



= \VäM'a^x^-\-VKwd +\'^,(}^'c,z^-^Ve,y,)Y - ^.;6;xV6;.<+i/6f.r;)^ . 



Es ist aber 



b[b'; = ajj^ — c^e^ 



(y6';<+i/i;'.r;y = uv-; = (V«,.r.+i'^«^y-(Vc,2,+ye,y,) 



2 



5 



dies eingesetzt giebt 



