78 Borchardt: Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels 

 wo 



ißi' = {ic + x-\-y-\-z){w-^x—y — z){ir — x-^y — z)(io — x—y-{-z) , 



folglich zerlegt sich 



4pi;<I>j = r — ilf^ 

 in die beiden Factoren 



H = ^ — ii/j , ir = ■^-\-M^ 



und man erhält 



4^^*^ = H.IP . 



Ich behaupte nun, dass // nur um einen constanten Factor von * 

 verschieden ist. In der That, für die vier in Art. 5 betrachteten Werth- 

 systeme (2B), (3f), (§j), (3) erhält nach (C. n-n) il/ die Werthe A, c'e', 

 b'e', b'c' und dem entsprechend M^ die Werthe A^, c[e[, b[e[, b[c[. Die gleich- 

 zeitigen Werthe von ^ sind -^^^(ya-h^Vb-+-s'Vc-\-ee'Ve) = Va^l\c^(^^\, 

 A^(^b'-bJ = ^n = c[e[, -J,(c'-cT = 6;<, ^(e'-e"y = b[c[, also 

 genau dieselben, d. h. die Differenz 



■i — i¥, = // 



verschwindet für die Werthsysteme (2ß), (£), (ß), (3)- Andrerseits ist 

 H eine homogene biquadratische Function von iv, x, y, z, welche sich 

 als lineare Function der durch (12*) definirten Ausdrücke P, Q, i?, <S, T 

 darstellen lässt, denn man hat 



-*■ = P—2Q — 2i? — 25 + 82' , 



und die vier Quadrate iv^, x\, y\, z\, aus welchen M^ linear zusammen- 

 gesetzt ist, sind resp. den Ausdrücken P-t-2Q + 2Ä-}-2.S', Q-^^'iT, 

 R-i-2T, S + 2r proportional. Folglich fällt H unter die Art. 5 unter 4) 

 betrachteten biquadratischen Functionen, und ist nur um einen constan- 

 ten Factor von * verschieden. Dieser constante Factor ergiebt sich 

 durch Betrachtung des Coefhcienten von P = w* -\-x* -\- y^ 

 und in H = "¥ — J/,, und man erhält 



