80 Borchardt: Theorie des arithmetisch- (jeometrischen Mittels 



']/a,']/h,]/c,]^c und ]/«*, V^*, Vf*, l^e* durch den Algorithmus des arith- 

 metisch-geometrischen Mittels beide auf dasselbe System der in $j ein- 

 tretenden transformirten Constanten \Ui,^, Vh^, Vf^, ^e^ führen. 



Die Gleichung (31) zeigt, dass, wenn zwischen den ursprünglichen 

 Variabeln ?r, x, y, z die Gleichung * ^ o besteht, zugleich zwischen 

 den transformirten Variabein u\, x, , y^, z^ die Gleichung *j = besteht, 

 AV. z. b. w. 



Geometrisch ausgedrückt heisst dies: jedem auf der Fläche * = o 

 liegenden Punkt (iv, x, y, z') entspricht vermöge der durch die Gl. (8) de- 

 linirten geometrischen Verwandtschaft ein und nur ein Punkt {io^,x^,y^,z^ 

 auf der Fläche *j == 0. Geht man umgekehrt von einem beliebig gege- 

 benen Punkt (ii\, j'j, ?/|, z^ auf der Fläche 4»^ = o aus, so hat man die 

 Wahl , ob man die Fläche * = oder die Fläche ** = als die der 

 Fläche *j = entsprechende ansehen will. Wie man aber auch diese 

 Entscheidung trifft, so liegen auf der Fläche * = (oder ** = O) vier 

 und nur vier Punkte (»', .r, y, z), welche dem Punkt {h\, x^, ?/,, z^) 

 entsprechen. In der That, die Gleichungen (8) nach v, .r, y, z auf- 

 gelöst geben 



2w = V\x\ + V}:^ + \\\ -+- Va^ 



2.1- = y^x\-^]% — V\->,—Vi, 

 2 7/ == V'u\ — l^^-, + 1A\ — V5, 



2z =l/u.^_l/^-^_l/„,H-4 . 



Hierin sind 16 Systeme von Werthen ir, x, y, z enthalten, wenn man 

 jeder der vier Quadratwurzeln das eine wie das andere Zeichen giebt, 

 oder, wenn man zwei entgegengesetzte Systeme, da sie denselben Punkt 

 geben, nur für eins rechnet, 8 Systeme. Aber die Zeichen der vier 

 Quadratwurzeln sind nicht mehr von einander unabhängig, sobald man 

 sich für die eine oder andere der beiden Flächen * = 0, ** = oder, 

 was dasselbe ist, //:= 0, i/* =: entschieden hat, denn auf der Fläche 

 //= hat man 



l'^W^ = * = il/, 



dagegen auf der Fläche i7* = 



