94 BoRCHAnDT: Theorie des arithmetisch- geometrischen Mittels 

 ist, dann verwandelt sich bei Berücksichtigung der Gleichungen: 

 dp = —2p^p^df , dq = —2q^qj4^ 

 p — q = («^ — «,){ 1 — ^-,- sui (p- -+- ^^„ sin-4^'} 



und unter Fortlassung des numerischen Factors 4 das Differential (36) in: 



e'b" . , b'c" . , „ 

 C 1 — T-T Sin <?)''+ j^ Sin 4/'' 



j — j — j —d(pd-J/ , 



und der constante Factor nimmt die einfache Gestalt 

 a 



bce V(«o — «1) («1 — «4) («0 — «3) («2 — «3) 



an. Man bat also das definitive Resultat: 

 Das Doppel-Integral 



' b" . „ b'c' . , « 



7-v Sin \i^' 



(38) J=={J-ld<p Id^L —^J^^ ,'\ 



bleibt unverändert, wenn man in demselben für die Constanten 

 Va, Vb, Vc, j/c, von welchen es allein abhängt, nach dem Algo- 

 rithmus (1) die Constanten Va^, Vh^, Vc^, Ve^ setzt. 



Eine Function von a, b, c, e, welche diese Eigenschaft besitzt, ist 

 bekanntlich^) eine blosse Function des arithmetisch -geometrischen Mit- 

 tels g dieser vier Elemente, zu deren Bestimmung es nur erübrigt, diesen 

 Algorithmus wiederholt anzuwenden und zur Grenze überzugehen. 



Bei diesem Uebergang zur Grenze nähern sich nach (4*, 5) die 

 sechs Brüche 



1) S. Monatsbericht 1876, p. G14. 



