130 Meddelelser fra Det mathematiske seminar i Kristiania. II. 
determinanter kantes på samme måde, og at for et hvilket- 
somhelst antal faktorer disse determinanter kun vil være 
forskjellige 1 første linje. 
Beviset kan føres ved induktion; men sætningens rig- 
tighed indsees lettest på følgende måde. Med faktoren 2 
for sidste determinant multipliceres 1ste linje i denne, 
hvorpå de to determinanter adderes. Man ser da, at 
a, + ib, er en faktor. Denne divideres bort, hvorpå 
determinantens første kolonne multipliceres med 7 og adde- 
res til 2den. Første linje i den herved erholdte determinant 
består kun af et led nemlig 1, og den reduceres sig derfor 
til dette leds underdeterminant. I denne er nu a, + ib, 
faktor. Efter bortdivision af denne multipliceres første 
linje i determinanten med + og adderes til den anden, 
hvorved determinanten atter kan reduceres til første leds 
underdeterminant o. s. v. Ved at fortsætte på denne 
måde ser man efterhånden, at alle de komplexe størrelser 
a, + ib,, a + ib, 0. s. v. er faktorer i determinanten. 
Denne må altså være lig produktet af alle disse størrelser 
multipliceret med en vis faktor, som man let indser er lig 
1. Hver af de to determinanter er nemlig en hel og homogen 
funktion, i a’erne og b'erne, og danner vi f. ex. 1 Iste deter- 
minant det udtryk, der fremkommer ved multiplikation af 
diagonalleddene, så er dette lig produktet af alle d'er, der 
netop er første led i udviklingen for produktet af de kom- 
plexe størrelser. 
Sætningen har en vigtig anvendelse i trigonometrien, 
idet den sætter os istand til at finde et udtryk for sin og 
cos til summer af vinkler udtrykt ved sin og cos til de 
enkelte vinkler. Produktet af flere størrelser af formen 
cos a + å sina kan nemlig sættes 1 to forskjellige former, 
og ved i disse at sætte de reelle og de imaginære partier 
ligestore får man, idet man f. ex. antar, at faktorernes 
antal er ulige, følgeude formler: 
