156 Sophus Lie 



dyi dcci 



dz; dZi 



so erhalten unsere Relationen die Form 



Vi ^/l (5l). Vo =/2 (^2) 



und dabei ist f.^ im Allgemeinen eine von f^ verschiedene 

 Funktion. Die beiden Richtungen Vi^i ^^iid 7/o5o liegen in 

 jedem Punkte der Fläche harmonisch hinsichtlich der beiden 

 durch denselben Punkt hindurchgehenden Haupttangenten, 

 was durch die Gleichung 



ausgedruckt wird. 



Verlangen wir, dass unsere Fläche nicht allein durch 

 Translation von c und k sondern zugleich durch Translations- 

 bewegung einer dritten Curve c' und also gleichzeitig durch 

 Translation einer vierten Curve k' erzeugt werden soll, so 

 muss die betreffende Fläche zwei partielle Differentialgleichun- 

 gen 2 O: 



(1)1 



I ^3^4 ^ + (^3^4 + 54V3) « '- ^73^4 t = 



erfüllen. Dabei genügen die Curveu c' und k' die Glei- 

 chungen 



wo 



V3 =/3 (^3); ^4 =/4 (^4) 



C?l/3_ tZ.'P3_ ^y4_„ ^4_^ 



~V3>,/^ ~^3>J^ ~V4>J_ ~^ 



ci^3~'^'(iSl ^'Ci^^ '^'rf^ 



gesetzt ist. In den Gleichungen (1) sind die Grössen 5k und 

 rj\, Funktionen von ^; und q, deren analytischer Ausdruck 

 durch Auflösung von den Relationen 



i> gk + 2 7k = 1 > ^k = /k (5k) 



gefunden wird. Hieraus folgt, dass zwei Gleichungen der 

 Form (1) entweder gar keine oder auch c-c* aehnliche und 



