Zur Flächentheorie. 157 



gleichgestellte Integralfläcben besitzen. Es fragt sich zunächst, 

 welche Relationen zwischen den Grössen ^k ?/k zur Existenz 

 gemeinsamer Integralflächen erforderlich sind. Diese schwie- 

 rige Frage findet ihre Antwort im folgenden merkwürdigen 

 Satze, den wir in dieser Note beweisen. 



Wird eine Fläche in mehr als zwei Weisen durch Trans- 

 lationsheivegung einer Curve erzeugt, so befriedigt sie zwei par- 

 tielle Differentialgleichungen 2. O. der Form 



5j è^r + {5^ rj^ +^2 7/j) 5 + 77i 7/2 t^= 



^3 ^4 r + (§3 rj^ + B,^ T}^) s + rj^i-i^t^ 0. 



Die Grössen B,i 7/i sind bestimmt durch 



p èi + qVi- 1, 77i=/i(5i) 



und zwar ist ?;; = /i (^J eine algebraische Relation, die durch 

 eine (von i unabhängige) Gleichung vierten Grades zwischen 

 Tji und ^i ausgedruckt werden kann. 



Die direkte Behandlung des gestellten Problems verlangt 

 ziemlich weitläufige Rechnungen. Dieselben können indess 

 wesentlich abgekürzt werden, wenn man zuerst zwei specielle 

 Fälle des allgemeinen Problems erledigt. 



§ 1- 



reber Fläclieii, die in mehreren Weisen durch Translation 

 von ebenen Carven erzeugt werden. 

 In diesem Paragraphen suche ich alle Flächen, die in 

 zwei Weisen durch Translation von ebenen Curven erzeugt 

 werden. Da eine derartige Fläche durch eine jede lineare 

 Transformation des Raumes, die die unendlich entfernte 

 Ebene invariant last, in eine ebensolche Fläche übergeführt 

 wird, so kann man ohne wesentliche Beschränckung anneh- 

 men, dass die besprochenen ebenen Curven in den Ebenen 

 cc = Const, und y = Const, gelegen sind. Dann aber be- 

 friedigt unsere Fläche zwei Relationen der Form: 



