158 Sophus Lie. 



(2) p2^+qX^ = l,p7+gY^^ I 



wo JC und 2l-^^ nur von æ; Y und Y^ nur von y abhängen. 

 Diese vier Funktionen erfüllen gewisse Tntegrabilitätsbedingun- 

 gen, die wir zunächst bestimmen m4issen. Durch Auflösung 

 kommt 



XY^-X^Y'^ XY^-X^Y' 



woraus durch Differentiation 



i_ ^1--^! ^ ± X- Y 

 dyXY^-X^Y dx XY^-X^Y' 



und durch Ausführung 



i3)X,[(X-Y)Y,'+{Y,-X,)Y^yY(^iX-Y)X^'HY,-X,)X'),. 



Diese Funktionalgleiehung bestimmt die vier Grössen JT^-^ YY^ 

 vollständig. Für das Folgende ist es nützlich zu bemerken, 

 dass man u. A. annehmen darf, dass X^^ eine lineare Funk- 

 tion von X, und Y-^ eine lineare Funktion von X ist; dass 

 also 



X^=ÄX+B, Y, = CY+D 



ist. Denn hierdurch erhält die Funktionalgleichung die Form 

 (Ä X+B) C{C-Ä) X + D-B^Y' =Y ((C- A)Y + n-B^ X, 



sodass ihre Integration in diesem specielle Falle keine 

 Schwierigkeit darbietet. Hiermit kennen wir indess keines- 

 wegs die allgemeine Lösung von (3) Um dieselbe zu finden, 

 müssen wir zunächst unsere Funktionalgleichung auf eine 

 zweckmässigere Form bringen. 



Die Gleichungen (2) geben durch Differentitation vier 

 Gleichungen zweiter Ordnung, unter denen wir indess nur 

 die beiden. 



Xs + X,t = 0,Yr+Y,s^O (30 



