160 Sophus Lie. 



und 



d^^ ^r + ^^s dY^ Ys+ Y^t 

 dx 'P ■¥ qX^' ' dy'^' 2^ + q Y^' ' 



Durch Einsetzung dieser Werthe in (5) kommt 



Y^js + JT^'t) JTr + X^s X ^ (r + F/g) Ys+Y^t 



^~' XY^-X^Y p + q X,' '^ XY,-X^Y p + q Y,' 



Y(s + X^'t) Xr + X, s X(r + Y,' s) Ys+Y^t 

 ^ ° XY^-X^Y p + qX^' " XY^-X^Y p + qY,' 



und durch Bildung der. Integrabilitätsbedingung -J- = j- 

 halten wir eine Relation der Form 



er- 



fX^^^^cp Fi"-h^ = (6) 



wo die Grössen / und cp^ wie man leicht findet, die Werthe 



Y{Xr^ X^sY pt-qs 



f 



'\i 



XY^-X, Y (p^qX,') 



X^{Ys+ Y^ty ps-qr 

 'P ~ XY^- X^Y (p + q Y^'Y 



besitzen, während ip durch Einsetzung der Werthe (4) der 

 Grössen a, ß, y, ô in eine Funktion von 



X, Y, X„ Y„ X,', Y,',p, q, r, s, t 

 übergeht. 



Die Relationen Xs + X^ ^ = 0, Fr + Y^ s = gestatten 

 überdies aus den Ausdrücken /, q) und ij} die Grössen r und 

 t wegzuschaffen. Aus der hierdurch gefundenen Gleichung 

 (6) fällt die Grösse s einfach Aveg, indem /, ç» und rp sämmt- 

 lich homogene Funktionen dritter Ordnung von s sind. 

 Denken wir uns nun ferner die Grössen p und q vermöge 

 der Relationen 



i) jr+ g Xi = 1 , i? F+ g Fl - 1 



aus (6) weggeschaft, so verschwindet, behaupte ich, ip iden- 



