Zur Flachentheorie. 171 



mir giebt es keine andere Relationen, welche die Differen- 

 tialgleichung (11) erfüllen. 



Man findet daher alle Flächen, die in mehr als zwei 

 Weisen durch Translation einer Curve erzeugt werden, indem 

 man zuerst eine beliebige irréductible oder réductible algebraische 

 Gleichung vierten Grades zwischen S und rj etwa 



9 (g v) = 



auswählt. Sodann sucht man, indem man beiläufig S als eine 

 Constante betrachtet, die vier Wurzeln 



f dB), f 2(B), f M, f A^) 



der letzten Glei' hung. Darnach setzt man 



und bildet die beiden partiellen Differentialgleichungen 2. O. 



gg ^4 r + (gä V4 + S4 Vs) * + 73 V4 * = 0. 



*) Sei überhaupt vorgelegt eine Relation der Form 



/i Vr'+f', Vi" + . . . . +/n Vn' = 0, 



in der die /k Funktionen von den rf-^ gi und rj-^ ' sind, während immer 



= 



ist. Durch Differentiation findet man zwei unab:,ängige Relationen zwi- 

 schen den ?7|."', drei unabhängige Relationen zwischen den tj^^W . . . und 

 zuletzt n unabhängige Relationen zwischen den n Grössen T/j/n+i), die 

 hiermit bestimmt sind. Dass allgemeine Integral dieser Diflferentialgleichun 

 gen, die nach ihrer Form kein singuläres Integral besitzen, enthält also 



n (n + 3) 

 höchstens ^ arbiträre Constanten. Nun aber enhält die Gleichung 



n {n + 3) 

 einer ebenen algebraischen Curve wt«'' Ordnung ^ wesentliche 



Constanten. Also schliessen wir, dass die von Rolst gefundene allge- 

 meine Eigenschaft der algebraischen Curven «tev Ordnung für diese 

 Curven charakteristisch ist. 



