172 Sophus Lie. 



ln denselben betrachtet man die gi t/i als Funktionen von p und 

 q, bestimmt durch die Gleichungen 



P B,i + q7]i = 1, 77i =/i (gi) 

 Alsdann haben unsere beiden partiellen Differentialgleichungen 

 ■>^^ nicht developpable, aehnliche und gleichgestellte Integral- 

 flächen, die durch Quadratur bestimmt werden. 



Es liegt nun nah zu fragen, wie viele verschiedene Er- 

 zeugungen durch Translationsbewegung einer Curve eine 

 nicht developpaale Fläche gestatten kann. Bei der Beant- 

 wortung dieser Frage müssen wir erimiern, dass die be- 

 sprochenen Erzeugungen paarweise zusammenhören. Lass 

 uns annehmen, dass eine Fläche durch Translation von m 

 Curven c: c^c^ ■ . . c^ und dementsprechend durch Transla- 

 tion von m Curven k : k^ k., . . . km erzeugt wird. Nehmen 

 wir nun zwei Curven der ersten Gattung etwa d und Cj und 

 zuglich die beiden entsprechenden Curven der zweiten Gat- 

 tung fcj kj, so sind alle Tangenten dieser vier Curven paral- 

 lel mit den Geraden eines algebraischen Kegels vierter 

 • Ordnung. Sei dieser Kegel irreductibel. Ist die Fläche 

 gegeben, so bestimmt die Curve Cj den betreffenden Ke- 

 gel, und also gleichzeitig nicht allein h sondern auch 

 Cj und Ä'j vollständig. Ist dageg-en der Kegel reductibel, so 

 sind mehrere Fälle denkbar. Zerfällt der Kegel in einen 

 Kegels dritter Ordnung und eine Ebene, so ist eine und nur 

 eine unter den vier Curven d Cj h kj etwa Cj eben, während 

 die Tangenten der drei anderen Curven mit den Geraden 

 des Kegel dritter Ordnung parallel sind. Denkt man sich 

 nun die Fläche und die Curve c-, gegeben, so ist zuerst die 

 Curvenschaar k, eindeutig bestimmt, und hiernach sind auch 

 die beiden Schaaren Cj und kj unzweideutig bestimmt. Lass 

 uns jetzt annehmen, dass der Kegel vierter Ordnung in zwei 

 Kegel zweiter Ordnung zerfällt; dann sind zwei wesentlich 

 verschiedene Fälle denkbar. Sind die Tangenten der Curven 

 Ci und kl nicht mit den Erzeugenden desselben unter den 



