Ueber Flächen mit linearen Transformationen in sich. 181 



die bekanntlich durch ^^^ ^ Relationen der Form 



^i (^k (/)) - ^k (-4i (/)) =" 2 Ciks ÄJ (1) 



s 



verknüpft sind. Ersetze ich die Variabein æ, y, z, durch die 

 neuen Variabein 



z* = cp {œyz)j æ' =- X{xyz), y' = Yixyz) 

 so wird ^' = die Gleichung der Fläche, während 



^^^^"^ d^'''''''dy'^^''Tz' ^^^ 



die neue Form der infinitesimalen Transformationen sein 

 möge. Dabei müssen alle <2k' durch die Substitution ä' = 

 gleich Null werden, indem die inf. Transformationen -4k'/ 

 nach Voraussetzung die Fläche s' = invariant lassen. 

 Machen wir daher die Substitution ^' = in den -4k' /» ^^ 

 erhalten wir r inf. Transformationen 



^''•^ ^^ dæ'^^"^ dy' 



zwischen den Variabein æ' und y'. Hierbei ist zunächst zu 

 bemerken, dass diese r Transformationen A^^f unabhängig 

 sein müssen, indem zwei verschiedene lineare Transformationen 

 des Raumes A^f nie eine Fläche [und auch keine gewundene 

 Curve] in identischer Weise in sich transformiren können*). 



*) Weiss man nehmlich, wie eine Fläche durch eine im Uebrigen unbe- 

 kannte lineare Transformation des Raumes in sich transformirt wird, 

 so kennt man es ipso die Transformation ihrer ebenen Schnitte, das 

 heisst, die Transformation aller Ebenen des Raumes, und hiermit ist 

 die betreffende lineare Transformation des Raumes vollständig be- 

 stimmt. 



