182 Sophus Lie. 



Es ist ferner einleuchtend, dass die Transformationen A^^f 



v(v — 1) 

 durch ^ „ — - Relationen verknüpft sind : 



A^ (^k° (/•)) - A^\A-^ (/)) = ^cas ^sV (3) 



s 



in denen die Constanten Cjks dieselben Werthe wie in der 

 Gleichung (1) haben. 



Wir können ohne Beschränkung annehmen, dass die r 

 unabhängige inf Transformationen A^s. f derart unter den 

 {r — l)fach unendlich vielen Transformationen 



C-^A^f+C^A^f+...-k-CrArf 



gewählt sind, dass z. B. A^ f und JLg/ in der Beziehung 

 A,(A,if))-A,{A,{f))'^cA,f 



stehen, und dass dabei die Constante c entweder gleich Null 

 oder auch gleich 1 ist. Dann befriedigen die beiden Trans- 

 tormationen A^^f und ^2"/ ^^^ entsprechende Gleichung 



A,'{A,'(f))-A,'(A,'{f))=^cA,'f. 



Nach meinen Untersuchungen über die Transformations- 

 gruppen einer zweifach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit 

 können wir uns jetzt immer denken, dass die Variabein x' 

 und 3/' derart gewählt sind, dass A^^f und ^2"/ ^^^ ^^^^ 

 unter den vier folgenden canonischen Formen 



0) v^=,^,4.»/= f, 



