184 Sophus Lie, 



b) Sei jetzt 



Dann sind, behaupte ich, æ' = Const, und 2/' = Const, die 

 einzigen auf der betreffenden Fläche gelegenen einfach un- 

 endlichen Curvenschaaren 



£1 (æ' y') ■=• a = Const., 



deren jede sowohl die Transformation -ä-^^o)/ wie die Trans- 

 formation A^^^^f gestattet, und somit zwei Kelationen der 

 Form 



erfüllt. Diese beiden letzten Keladonen verlangen nehmlich 

 entweder dass æ' eine Funktion von £1, und also gleichzeitig 

 £1 eine Funktion von æ' ist, oder auch dass £1 nur von y' 

 abhängt, womit die Kichtigkßit unserer Behauptung erwiesen 

 ist. Schliessen wir daher die developpablen Flächen von 

 unserer Betrachtung aus, so ist æ' = Const, die Gleichung der 

 einen Schaar Haupttangentencurven, und 3/' = Const, die Glei- 

 chung der zweiten Schaar. • 



Nach diesen vorbereitenden Betrachtungen werden wir, 

 indem wir mit a^ eine beliebige Constante bezeichnen, die 

 infinitesimale Transformation 



betrachten. Bei derselben bleibt die Haupttangentencurve 

 æ' = «0 invariant, und überdies behalten alle ihre Punkte ihre 

 Lage ungeändert. Wenn aber alle Punkte einer Curve bei 

 einer linearen Transformation des Raumes invariant bleiben, 

 so ist die Curve eben, und da æ' = a^ ausserdem eine Haupt- 

 tangentencurve sein soll, so muss sie eine Gerade sein. Es 

 ist auf der anderen Seite ebenfalls leicht zu beweisen, dass 

 auch jede Haupttangentencurve y' = h^ geradlinig sein muss. 



