üeber Flächen mit linearen Transformationen in sich. 185 



Denn, wäre die Curve y' = h^ gewunden, so könnte man zuerst 

 in einem arbiträren Punkte ip derselben die zugehörige Oscu- 

 lationsebene construiren, und darnach den Schnittpunkt n 

 dieser Ebene mit der Geraden x' = a^ bestimmen. Führte 

 man sodann die inf. Transformation A^^ f — aQ^l^^*^/ aus, so 

 bliebe jeder Punkt der Geraden x' = «q, insbesondere auch 

 der Punkt tt invariant und da nicht alle Punkte p der 

 Curve y' = b^ bei unserer Transformation invariant bleiben 

 dürfen, so müssen alle Osculationsebenen der soeben be- 

 sprochenen Curve durch den gemeinsamen Punkt tt gehen. 

 Hiermit sind wir indess auf Contradictio geführt. Und also 

 muss die Curve y' ~ b^ eben und als Haupttangentencurve 

 geradlinig sein, wie behauptet wurde. Die Annahme 



führt somit entweder auf Flächen zweiten Grades oder auch 

 auf developpable Flächen*), 

 c) Die Annahme 



^^ ^ dx"^^ J dy' 



liefert die von Klein und mir untersuchten Flächen mit zwei 

 permutablen linearen und infinitesimalen Transformationen. 

 Es ist bekanntlich möglich in allgemeinster Weise zwei per- 



*) Im letzten Falle giebt es nur eine Schaar (geradlinige) Haupttangenten- 

 curven, die entweder durch x^ — Const, oder durch ij" = Const, dar- 

 gestellt werden. Ist y^ = Const, die Gleichung der geradhnigen Haupt- 

 tangentencurven, so sieht man wie früher ein, dass alle diese Gerade 

 einen Kegel bilden. Ist x^ = Const, die Gleichung der geraden Linien 

 der developpablen Fläche, so müsste die Eebroussementscurve sowohl 

 durch Ji" /■ wie åuvchA^^fin sich transformirt werden und somit 

 eine Curve dritter Ordnung sein. Es ist indess leicht zu verificiren, 

 dass die Developpable einer Curve dritter Ordnung nicht zwei infini- 



df df 

 tesimale, lineare Transformationen der typischen Form t~-5^'j~ 



gestattet. 



