186 Sophus Lie, 



mutable lineare und infinitesimale Transformationen A^ f, Ä^ f 

 aufzustellen ; darnacli findet man die Integralflächen des 

 vollständigen Systems 



durch zwei Quadraturen," die sich überdies ausführen lassen, 

 a) Zurück steht jetzt nur noch die Annahme 



^ -^ dx' ^ '' dæ' ^ dy' 



Dieselbe liefert eine Reihe, im Allgemeinen transcendente und 

 nicht developpable Flächen. Zur Bestimmung derselben 

 sucht man in allgemeinster Weise zwei lineare inf. Trans- 

 formationen des Raumes A-^f^A^f, die in der Beziehung 



A,{A,{f))-A,{A,{f)) = A,f 



stehen und dabei keine Relation der Form 



A^f='k{psyz)A^f 



erfüllen. Diese Bestimmung kann immer ausgeführt werden. 

 Darnach bestimmt man die Integralflächen des vollständigen 

 Systems 



^,/=0, ^2^ = 



durch zwei Quadraturen, die sich immer ausführen lassen. 

 Die hiermit gefundenen Flächen gestatten selbstver.stand- 

 licherweise die beiden inf. Transformationen A-^f und A^f. 



Zu den obenstehenden Entwickelungen, die einen ein- 

 fachen Weg zur Auffindung aller Flächen mit zwei oder 

 mehreren linearen und infinitesimalen Transformationen geben, 

 fügen wir noch die folgenden Bemerkungen. 



Sucht man alle Flächen, die eine vorgelegte lineare und 

 infinitesimale Transformation Af gestatten, so braucht man 

 nur die lineare partielle Differentialgleichung Af = zu 



