188 Sophus Lie. 



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erhalten können. Wir werden untersuchen, ob es wirklich 

 Flächen giebt, welche die gestellten Forderungen erfüllen. 



Wir bemerken zunächst, dass jede Haupttangentencurve 

 einer solchen Fläche durch zwei unabhängige lineare inf. 

 Transformationen der Form 



in sich transformirt wird, und dass sie in Folge dessen eine 

 Curve dritter Ordnung (oder eine Gerade) ist*). Da die inf. 

 Transformationen C-^f und Og/ sicher eine Gruppe bestimmen, 

 so giebt es auf der besprochenen Curve 3. O. ein Punkt P, 

 der bei allen Transformationen der Form c-^ C-^f+ c^C^f 

 ihre Lage behält. Eine bestimmte Transformation der Form 

 ^1 ^i/+ ^2 ^2 f ^äs^t i'^ Allgemeinen zwei Punkte der Curve, 

 unter denen P der eine ist, invariant. Bei einer solchen 

 Transformation behält daher im Allgemeinen ein nicM aus- 

 geartetes Tetraeder ihre Lage. Durch zweckmässige Varia- 

 tion des Verhältnisses — , kann man übrigens erreichen, dass 



die' vier' Ecken dieses Tetraeders einaudern unendlich nah 

 rücken und zuletzt in P zusammenfallen. 



Lass uns jetzt einen Punkt allgemeiner Lage unsere 

 Fläche wählen, und lass uns die beiden hindurchgehenden 

 Haupttangentencurven betrachten. Dann giebt es eine und 

 nur eine inf. Transformation der Form m^ J-^Z+m., J-2/ + 

 mg Äq/ welche den gewählten Punkt und folglicli zugleich 

 die beiden hindurchgehenden Haupttangentencurven invariant 



*) Hieraus folgt unmittelbar, das jede Fläche die unsere Forderungen er- 

 füllt, sicher algebraisch ist. 



