190 Sophus Lie. 



Gestattet eine Fläche mehr als zivei unabhängige, lineare 

 und infinitesimale Transformationen, so ist sie entweder ein 

 Kegel, oder eine Fläche zweiten Grades oder endlich die Develop- 

 pahle einer Haumcurve dritter Ordnung. 



Führt man auf eine Fläche alle ooi s lineare Transforma- 

 tionen des Raumes aus, so erhält man im Allgemeinen co^s 

 verschiedene Flächen. Wenn indess die vorgelegte Fläche 

 eine oder mehrere, etwa q unabhängige lineare und infini- 

 tesimale Transformationen gestattet, so erhält man nur oo'^-i 

 Flächen. Die vorangehenden Entwickelungen zeigen, wie 

 man alle möglichen Fälle bestimmen kann. 



Führt man andererseits alle Transformationen einer in der 

 allgemeinen linearen Gruppe enthaltenen Uutergruppe, die 

 etwa m Parameter enthält, auf eine vorgelegte Fläche aus, so 

 erhält man im Allgemeinen co"i verschiedene Flächen. Wenn 

 jedoch die vorgelegte Fläche q in der Untergruppe enthalte- 

 nen infinitesimale Transformationen gestattet, so erhält man 

 nur oc-n^-i verschiedene Flächen. 



Lass uns insbesondere diejenige Untergruppe mit 7 

 Parametern betrachten, die von allen Bewegungen und Aehn- 

 lichkeitstransformationen gebildet wird. Und lass uns alle 

 Flächen suchen, die durch Ausführung aller Transformationen 

 dieser Gruppe nicht mehr als oo* verschiedene Lagen erhält. 

 Eine solche Fläche muss drei lineare Transformationen der 

 besprochenen Untergruppe gestatten, und ist daher entweder 

 ein Kegel oder eine Developpable einer Curve dritter Ord- 

 nung oder eine Fläche zweiten Grades. Es giebt aber keine 

 Curve 3. O. mit drei linearen inf. Transformationen, die den 

 Kngelkreis invariant lassen. Soll andererseits ein Kegel drei 

 solche infinitesimale Transformationen gestatten, so muss sie 

 eine Punktkugel sein ; eine Punktkugel erhält indess durch 

 Ausführung aller Bewegungen und Aehnlichkeitstransforma- 

 tionen nicht, einmal c>o'^ sondern nur oo'' verschiedene Lagen. 



