Uebev Flächen mit linearen Transformationen in sich. 191 



Also muss die Fläche vom zweiten Grade sein, und wie man 

 leicht einsieht, insbesondere eine gewöhnliche Kugel. 



Die soeben erledigte Frage kann übrigens direkt in 

 folgender Weise beantwortet werden. Gestattet eine Fläche 

 oo^ lineare Transformationen, die den Kugelkreis invariant 

 lassen, so muss sie insbesondere oo^ (oder oo^) Bewegungen 

 gestatten. Lass uns zunächst annehmen, dass diese Bewe- 

 gungen sämmtlich Rotationen sind. Dann weiss man, dass 

 oo'^ (oder oû^) Rotationen, die eine Gruppe bilden, immer 

 Rotationen um einen festen Punkt sind, und also ist die 

 betreffende Fläche eine Kugel. Gesta-ttet eine Fläche eine 

 Gruppe von co^ oder oo^ Bewegungen, unter denen sich 

 eine oder mehrere Translationen finden, so ist die Fläche 

 entweder eine Ebene oder eine Cylinderfläche. Eine Ebene 

 erhält indes durch alle lineare Transformationen nur oo'^ 

 Lagen. Eine Cylinderfläche dagegen erhält durch Ausführung 

 aller Bewegungen und Aehnlichkeitstransformationen jeden- 

 falls oD^ verschiedene Lagen, dabei vorausgesetzt dass die 

 Cylinderfläche nicht in einen Rotationscylinder mit unend- 

 lich kleinem Radius, das heisst in eine gerade Linie aus- 

 geartet ist. 



Die Kugel ist daher die einzige Fläche, die durch Aus- 

 führung aller Bewegungen und Aehnlichkeitstransformationen 

 oo'^ ^md nur oo* verschiedene Lagen erhält. 



Soll eine Raumcurve durch Ausführung aller Bewegun- 

 gen und Aehnlichkeitstransformationen c<j-^ und nur oo* ver- 

 schiedene Lagen erhalten, so muss sie jedenfalls durch oo^ 

 Bewegungen, unter" denen zwei infinitesimal sind, in sich 

 übergeführt werden. Nun aber ist klar, dass eine krumme 

 Curve, deren Bogenlänge von Null verschieden ist, nie mehr 

 als eine infinitesimale Bewegung gestattet. Und eine krumme 

 Curve ds = 0, die zwei infinitesimale Bewegungen gestattet, 

 ist eine Curve dritter Ordnung, deren Developpable den 

 Kugelkreis enhält; und eine solche Curve gestattet offenbar 



