192 Sophus Lie. 



keine dritte lineare inf. Transformation, die den Kugelkreis 

 invariant lässt. Die gerade Linie ist daher die einzige 

 Curve, die unsere Forderungen erfüllt. 



Die gerade Linie ist die einzige Curve, die durch alle Be- 

 wegungen und ÄehnlichJceitstransformationen des Raumes oo^ 

 und nur oq* verschiedene Lagen erhält. 



Die beiden lezten Sätze zeigen, dass die Plückersche 

 Liniengeometrie und die vom Verfasser begründete Kugel- 

 geometrie eine ausgezeichnete Stellung einnehmen unter den 

 unbeschränkt vielen Weisen, in denen man im Plückerschen 

 Sinne einen vierfach ausgedehnten Raum construiren kann. 



Führt man daher eine Fläche oder eine Curve mit vier 

 Parametern als Punkt eines vierfach ausgedehnten Paumes 

 ein und verlangt dabei, dass dieser Raum alle Bewegungen 

 und ÄehnlichJceitstransformationen des dreifach ausgedehnten 

 Punktraumes gestatten soll, so erhält man entweder die 

 Plückersche Liniengeometrie oder auch die neue Kugelgeometrie. 



Hierzu kommt, dass die Liniengeometrie alle coi^ lineare 

 Transformationen des dreifach ausgedehnten Raumes ge- 

 stattet, und dass die Kugelgeometrie c^^^ Berührungstrans- 

 formationen gestattet, die Krümmungslinien des dreifach 

 ausgedehnten Raumes invariant lassen; und endlich dass 

 die Liniengeometrie nach mir durch eine Berührungstrans- 

 formation in die Kugelgeometrie übergeführt werden kann. 



*) Hier noch die folgenden Bemerkungen. Wean eine Differentialglei- 

 chung eine Transfbrmationsgruppe mit einer begrenzten Zahl Para- 

 metern gestattet, so ist es immer möglich die vorgelegte Gleichung durch 

 eine oder mehreren Relationen zwischen gewissen canonischen Grössen 

 zu erzetzen, welche durch die Gruppe bestimmt sind. Die Bestimmung 

 dieser canonisehen Variabein ist immer möglich, wenn man ein durch 

 die Gruppe bestimmtes vollständiges System integrirt hat. Ich behalte 

 mich vor diese Tlicorie, die allerdings fast unmittelbar aus dem Be- 

 griffe Transformationsgruppe hervorgeht, baldigst näher zu entwickeln« 

 Handelt es sich um Systemen von Uneareu partiellen Differential- 



