Ein Paar synthetische Methoden. 263 



Setzt man also im Dreiecke ABC AG = & = , be- 

 kommt man 



= a^ + c' — 2 a c cos B , 



o: - = cos 5 ± ]/cos'^ B - \ = cos 5 ± i sin 5 = e~'^ ...(a) 



Diese wichtige Formel, von Darboux analytisch abgelei- 

 tet, giebt sogleich die in vor. Art. gezeigten Thatzachen. Sie 

 giebt auch zu der ebenfalls von Darboux nachgewiesenen 

 Formel : 



Anlass, wo P ein beliebiger Punkt der Ebene, AB und A'B' 

 associirte Punktpaare, welche überdies in der Formel ge- 

 tauscht werden können. 



Darhouæ hat {Sur une classe remarquable etc.) wichtige 

 Consequenzen dieser fundamentalen Formel für Kurven be- 

 liebiger ebenen Ordnungen gezogen. Für uns hat es grössere 

 Interesse die von Salmon, später aber unabhängig von 

 Laguerre nachgewiesene Verbindung zwischen Winkel und 

 Doppelverhältniss, aus der Formel («), wie es am einfachsten 

 geschieht, abzuleiten. 



Das doppelte Zeichen hat Bezug auf die beiden Arten 

 von Nullgeraden, von welchen BA und BC geschnitten wer- 

 den können, und deren AG der einen gehört. Separirt man 

 diese, indem man durch A eine Gerade jeder Art legt, be- 

 kommt man: 



a a 



und durch Division 



a 



a 

 Nun ist aber — eben der Werth D eines der sechs Dop- 

 a 



