Ein Paar synthetische Methoden. 265 



kleine, was eine dreifache Bedingung des Verschwindens 

 bildet, wenn das Dreieck als Punktfigur anzusehen ist. 



111. Die ersten metrischen Definitionen invarianter Grössen 



in der Ebene. 



26. Die obenstehenden Betrachtungen über das Dreieck 

 geben die ersten metrischen Definitionen invarianter Grössen 

 ab, nemlich derjenigen Grössen, A^und S/^, welche gleich Null 

 gesetzt ausdrücken, dass drei gegebene Funkte, ABC, auf der- 

 selben Geraden, resp. drei gegebene Geraden, abc, durch 

 denselben Punkt gehen. Sie entsprechen, was auch zu erwarten 

 wäre, einander metrisch-dualistisch. 



Was A 2 betrifft, ist es leicht zu sehen dass diese nichts 

 anders sein kann als bis auf einen Zahlenfactor das Flächen- 

 raum des Dreiecke ABC. Sagen wir: 



Ag ^2 ABG. 



Dies drückt durch sein Verschwinden eben die verlangte 

 Eigenschaft aus und verschwindet in keinem andern Falle. 



Betrachtet man die elementaren Ausdrücke des doppel- 

 ten Flächenraumes, welche nicht Strecken allein enthalten, 

 nähmlich : 



sind in der That alle diese gleich und drücken eine metrische 

 Grösse aus, welche dann und nur dann verschwindet, wenn die 

 drei Seiten durch denselben Punkt gehen, also die ge- 

 suche V». 



