Ein Paar synthetische Methoden, 267 



WO jedoch die Zeichen algebraisch aufzufassen sind, indem 

 sie cos Ä, cos 5, cos G folgen: 



Unsere Invariante ist also die halbe algebraische Summe 

 der Seiten des Fusspunktsdreiecks. 



Es ist zu bemerken, dass diese algebraische Summe einen 

 Minimumswerth für alle hn Dreiseit abc eingeschriebene Drei- 

 ecke ist. Aus dieser Eigenschaft ist ihre Bedeutung als 

 Linieninvariante ableitbar. 



28. Wenn die Ecken eines Dreiecks (ABC = abc) sich bis 

 zum Zusammenfallen nähern, wodurch die Seiten resp. = s 

 werden, bekommt man Ag =e^ V2 = «• 



Wenn die Geraden sich bis zum Zusammenfallen nähern, 

 wodurch die Sin. resp. = s werden, bekommt man V2 =£^ l^^^s. 



In den Anwendungen kommt man häufig zu diesen wich- 

 tigen metrischen Begriffen, an welche die Grundgrössen der 

 Ebene sich genau anschliessen. Dort findet man auch Ge- 

 neralisationen, wo Punkte und Gerade von Kurven ersetzt 

 sind. Speciel ist eine merwürdige Generalisation gewisser 

 elementar-trigonometrischen Sätze hervorzuheben, indem statt 

 des gevöhnlichen Dreiecks ein System von drei algebraischen 

 Kurven auftritt. 



IV. Die metrischen Griiiidelemente des Raumpiinktes. 



Ein Punkt im Räume entspricht als Träger aller durch 

 ihn gehenden Ebenen und Geraden (Strahlen) — und von 

 andern wird in dieser Abtheilung nicht die Rede, warum 

 keine ausdrückliche Hinzufügung deswegen geschehen wird — 

 dualistisch der Ebene mit ihren Geraden und Punkten. In 

 metrischer Beziehung aber ist es ein grosser Unterschied ; 

 während der metrische Dualismus der Ebene nicht descriptiv 

 ist, ist dies dagegen vollkommen der Fall mit derjenigen des 

 JRaumpunktes. 



Bekanntlich ist diese Reciprocität von besonderem ge- 

 schichtlichen Interesse, als der historisch zuerst entdeckte. 



