268 Elling Holst. 



Doch ward die Betrachtung damals wie später durch den 

 Zuzatz einer Kugel mit dem festen Raumpunkte als Centrum 

 zugedeckt, und man hatte z. B. statt einer Triedrometri 

 eine spärische Trigonometri. Der Dualismns in der Geometrie . 

 des Raumpunktes ist somit nichts anders als die bekannte 

 Reciprocität zwischen einem sphärischen Dreiecke und seinem Po- 

 lardreiseit. , 



30. Zunächst: Welche sind die metrischen Grundgrössen 

 und wann werden sie oder oo? 



Man hat dreierlei: 



1) sin^^^2 zwischen zwei Strahlen. 



2) sin^^r zw. Strahl und Ebenen. 



3) sin;r2;r2 zw. zwei Ebenen. 



31. Die erste dieser Grössen ist nach dem, was wir 

 schon kennen, <^, wenn wenigstens die eine Gerade focal ist. 

 Es entsteht dann die Frage nach dem Orte der focalen Gera- 

 den. Diese bilden bekanntlich die Generatricen eines Kegels 2. 0. 

 (der Fohal-Kegel, ^ Ä'g) und verbinden den festen Raumpunkt 

 mit den Punkten des unendlich entfernten Kugelkreises {'^ C^)- 



Eine willkürliche Ebene schneidet den Focalkegel in 

 zwei focalen Geraden {^i, o^j). Jeder Winkel ^1^2 ^^ 

 dieser Ebene ist (nach 26) = 



.. lo giiat(g^,g^,^i,(x>j) 

 2% 



Berührt nun die Ebene den Focalkegel oder, was dasselbe 

 ist, den '^ G^, — sie wird dann Focalebene genannt — ist 

 das Doppelverhältniss -= 1, also der Logarithmus Null 0: 



Wenn die Ebene g^g.j^ focal ist, ist <; ^1^2; und f olglich 

 sing^g.^ = 0. 



Hieraus sind alle übrige Singulärfälle der drei Grund- 

 grössen ableitbar. 



