Ein Paar synthetische Methoden. . 273 



ricbtuDg auf a und 6, entweder pp' oder qq' als das (nach 

 Darhoux) associirte Strahlenpaar hervorhebt. 



Darhouæ zeigt weiter, dass für einen willkübrlichen 

 Pupkt der Kugel : 



MA 



tg y - 



^ MB 



Hier sind natürlicherweise die Punkte P und P' durch Q, 

 und Q,' ersetzbar, wenn gleichzeitig von A und B der eine 

 mit dem diametralen Punkte vertauscht wird. 



Die letzte formel fübrt zu einer Reihe von Phänomenen, 

 die mit den analogen in der Ebene sehr ähnlich sind. J^s 

 wird indessen Bedeutung haben sie auch vom rein synthe- 

 tischen Gesichtspunkte anzusehen. 



37. Fragen wir daher nach dem Orte solcher Strahlen 

 c, welche mit zwei festen a, b, einen konstanten Ehenenwinkel 

 ach = aß bilden, bekommen wir einen Kegel 4ter Ordn, mit a und 

 b als Doppelstrahlen und den Focalkegel >o K^ in den vier 

 durch a und h gehenden Focalehenen berührend. 



Dies wird leicht durch Vergleichung mit einem analogen 

 ebenen Probleme ermittelt. Die Gleichung 



<iaß = constant 



sagt nämlich aus, dass das Doppelverh. («, /3, oott^ , oo TTg) 

 constant bleibt, wo >o n-^ und >ö 7t^ die beiden Focalehenen 

 durch c bedeuten. Wenn man nun den Raumpunkt mit einer 

 Ebene, oo K^ mit einem Kegelschnitte in derselben, a und h 

 mit den Kreispunkten I und J vertauscht, hat man die ganz 

 entsprechende ebene Aufgabe, den Ort der Spitze eines Win- 

 kels von gegebener Grösse zu suchen, wenn die Schenkel den 

 Kegelschnitt berühren. (Man unterlasse nicht die interessante 

 Verschiedenheit zu bemerken, indem in den beiden Problemen 



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