Ein Paar synthetische Methoden. 289 



c 



A3-^= A, {a). A,(/3) lS,{y).ui\{aßy) . 

 und umgekehrt: 



Vg = sin(/5;/ô). sin(j/(5«) -^^ 



73^= Bm{ßyd). üw{yoa). sin(da/5) A^C^). 



55. Ein in metrischer Hinsicht wichtiges Tetraeder wird 

 aus einem Systeme von 4 Punkten ABCD desselben focalen 

 Kegels oder Null-Kugel'^) gebildet. 



Die Fundamentaleigen'Schaft eines solchen singularen Te- 

 traeders ist, dass die algebraische Summe der Producte ent- 

 gegengesetzter' Kanten constant = ist. Mit andern Worten: 

 Der für ebene Kreise geltende Ptolemaeische Lehrsatz kann 

 dazu ausgedehnt werden, für jedes in eine Null-Kugel einge- 

 schriebene VierecJc zu gelten. 



Beweis: Es seien O das Centrum der Null-Kugel, J>' 

 der Schnittpunkt der Génératrice OD mit der Ebene ÄBÖ. 

 Dann ist AB CD' ein in einem Kreise eingeschriebenes 

 Viereck, also: . 



AB. CD' dz BG. AD' ± CA. BD' = . 



Nun bilden in der Ebene ADO AO und DO einen Null- 

 kreis und somit hat man nach 26: 



AD OD .jj^^j,. 

 AD' OD' 



und in Folge des analogen Raisonnements für die Ebenen 

 BDO und GDO überhaupt: 



*) Was bisher ein Focalkegel genannt und oa K„^ bezeichnet worden ist, zeigt 

 sich bekanntlich mit einer Kugel mit dem Radius = identisch. 



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